1089の秘密

数学雑学式と計算数学雑学

1089という不思議な数についての紹介です。条件を満たす3桁の自然数に、ある操作を行うと全て1089になります。
Ⅰ 1089の秘密
Ⅱ 証明


目次
  • 1. Ⅰ 1089の秘密
  • 2. Ⅱ 証明

Ⅰ 1089の秘密

1089の秘密

 百の位と一の位の差が2以上である3ケタの自然数について、次の動作を行うと、すべて1089になる。
 
① 百の位と一の位を入れ替えた数を作る。
② もとの数と①の差を求める。
③ ②の数について、百の位と一の位を入れ替えた数を作る。
④ ②と③の和を求める。

文章にすると、少し複雑ですね。しかし、やっていることは簡単です。

・316の場合
① 613
② 613-316=297
③ 792
④ 297+792=1089
 
・901の場合
① 109
② 901-109=891
③ 198
④ 891+198=1089

ということで、条件を満たした3ケタの自然数であれば、1089になりそうです。
 
①~④の操作をプログラム化しましたので、いろいろ試してみてください。


~操作結果~

① 百の位と一の位を入れ替えた数は 
② もとの数と①の差は 
③ ②で、百の位と一の位を入れ替えた数は 
④ ②と③の和は 

 
条件を満たさない3ケタの自然数を入力した場合、④の結果に0198という数が登場します。この理由も含めて、次章で証明します。


Ⅱ 証明

証明は式変形がすこ~し複雑です。

証明

もとの数の一の位を \(~a~\) 、十の位を \(~b~\) とおく。また、百の位と一の位の差を \(~t~\) とおく。
もとの数は①よりも大きいということにしても一般性は失われないため、 \(~t \ge 2~\) する。
すると、もとの数は
\begin{equation}
100(a+t)+10b+a
\end{equation}
と表せる。
 
① 百の位と一の位を入れ替えた数は
\begin{equation}
100a+10b+(a+t)
\end{equation}
と表せる。
 
② もとの数から①をひくと、

\begin{align}
&100(a+t)+10b+a-\left\{ 100a+10b+(a+t) \right\} \\
&=100a+100t+10b+a-100a-10b-a-t \\
&=99t
\end{align}


\begin{align}
&100(a+t)+10b+a \\
&-\left\{ 100a+10b+(a+t) \right\} \\
\\
&=100a+100t+10b+a \\
&-100a-10b-a-t \\
\\
&=99t
\end{align}

ここで \(~t \ge 2~\) より、 \(~99t~\) は3ケタの数である。そこで、 \(~99t~\) を次のように3ケタ表記へと式変形を行う。
\begin{align}
&99t \\
&=100t-t \\
&=100t-100+100-t \\
&=100(t-1)+90+10-t \\
&=100(t-1)+90+(10-t) \\
\end{align}
 
③ ②で百の位と一の位を入れ替えた数は
\begin{equation}
100(10-t)+90+(t-1)
\end{equation}
 
④ ②と③の和は、

\begin{align}
&\left\{ 100(t-1)+90+(10-t) \right\}+\left\{ 100(10-t)+90+(t-1) \right\} \\
&=100t-100+90+10-t+1000-100t+90+t-1 \\
&=-100+90+10+1000+90-1 \\
&=1089
\end{align}


\begin{align}
&\left\{ 100(t-1)+90+(10-t) \right\} \\
&+\left\{ 100(10-t)+90+(t-1) \right\} \\
\\
&=100t-100+90+10-t \\
&+1000-100t+90+t-1 \\
\\
&=-100+90+10+1000+90-1 \\
\\
&=1089
\end{align}

 
以上より、以上の操作で1089になることは示された。 \(~\blacksquare~\)

百の位と一の位の差 \(~t~\) が0や1のときには、②の \(~99t~\) の部分で、それぞれ0、99となるため、
③ではそれぞれ0と99、④ではそれぞれ0と198となります。


証明において、変数が見事にすべて消えて、1089だけが残る。美しいですね。

   
 
 


数学雑学式と計算数学雑学

Posted by Fuku