小数にすると、興味深い数列が並ぶ $~\displaystyle \frac{1}{81}~$ や $~\displaystyle \frac{1}{9801}~$ 。どのような数列となり、またなぜそのような数列が生まれるのかを説明します。
Ⅰ $~\frac{1}{81}~$ や $~ \frac{1}{9801}~$ の小数化
Ⅱ 81と9801の共通点
Ⅲ 規則性の証明
Ⅳ 同様の分数
Ⅰ $~\frac{1}{81}~$ や $~ \frac{1}{9801}~$ の小数化
まずは、実際に計算してみましょう。
$~\displaystyle \frac{1}{81}~$ や $~\displaystyle \frac{1}{9801}~$ は次のような循環小数となる。
\begin{align}
\displaystyle \frac{1}{81}&=0.01234567901234567901 \cdots \\
\\
&=0.\dot{0}1234567\dot{9}
\end{align}
\begin{align}
\displaystyle \frac{1}{9801}&=0.0001020304 \cdots 9697990001 \cdots \\
\\
&=0.\dot{0}001020304 \cdots 96979\dot{9}
\end{align}
\begin{align}
\displaystyle \frac{1}{9801}&=0.000102 \cdots 96979900 \cdots \\
\\
&=0.\dot{0}00102 \cdots 96979\dot{9}
\end{align}
この2つの分数を小数にすると、同じような性質を持つ数列が出てきますね。
$~\displaystyle \frac{1}{81}~$ の場合、 $~0~$ から $~9~$ までの整数が順番に並んでいるのがわかります。
\begin{equation}
\displaystyle \frac{1}{81}=0.012345679012 \cdots
\end{equation}
ただし、 $~8~$ を除いて。
また、 $~\displaystyle \frac{1}{9801}~$ の場合、 $~00~$ から $~99~$ までの整数（2ケタ表示）が順番に並んでいるのがわかります。
\begin{equation}
\displaystyle \frac{1}{9801}=0.\underbrace{00}\underbrace{01}\underbrace{02}\cdots \underbrace{96}\underbrace{97}\underbrace{99}0001 \cdots
\end{equation}
\begin{align}
&\displaystyle \frac{1}{9801} \\
\\
&=0.\underbrace{00}\underbrace{01}\underbrace{02}\cdots \underbrace{96}\underbrace{97}\underbrace{99}00 \cdots
\end{align}
ただし、 $~98~$ を除いて。
ここで、以下の疑問点出てきます。
①なぜ整数が順番に並んでいくのか？
②なぜ8や98だけが除外されてしまうのか？
この2つの疑問点を解決すべく、まずは $~81~$ と $~9801~$ の共通点を探してみたいと思います。
Ⅱ 81と9801の共通点
81と9801といった2つの数はどこから出てきているのでしょうか？ 彼らのをルーツを探るべく、素因数分解をしてみようと思います。すると・・・
\begin{align}
81&=3^4 \\
9801&=3^4 \cdot 11^2
\end{align}
$~3^4~$ が共通していますね。
ただ、もっとよ～く見てみると、どちらも平方数であることに気づけて、
\begin{align}
81&=(3^2)^2=9^2 \\
9801&=(3^2 \cdot 11)^2=99^2
\end{align}
の形にできますね。
したがって、81と9801の共通点は
各桁の数がすべて $~9~$ で表される数の２乗
となります。
ということは、 $~\displaystyle \frac{1}{999^2}=\frac{1}{998001}~$ も同じような性質を持つと予想できます。
（実際の計算結果は「この記事の④へ」）
$~9~$ や $~99~$ という数をヒントに、先ほどの２つの疑問点を証明していきましょう。
Ⅲ 規則性の証明
まずは $~\displaystyle \frac{1}{81}~$ に焦点を当てて証明していきます。
①なぜ整数が順番に並んでいくのか？を証明する。
$~\displaystyle \frac{1}{81}~$ を式変形していく。
\begin{align}
&\displaystyle \frac{1}{81} \\
\\
&=\frac{1}{9^2} \\
\\
&=\left( \frac{1}{9} \right)^2 \\
\\
&=(0.111 \cdots)^2 \\
\\
&=\left( \frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}+\cdots \right)^2
\\
&=\left\{ \left(\frac{1}{10}\right) +\left(\frac{1}{10}\right)^2+\left(\frac{1}{10}\right)^3+\cdots \right\}^2
\end{align}
\begin{align}
&\displaystyle \frac{1}{81} \\
\\
&=\frac{1}{9^2} \\
\\
&=\left( \frac{1}{9} \right)^2 \\
\\
&=(0.111 \cdots)^2 \\
\\
&=\left( \frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}+\cdots \right)^2
\\
&=\left\{ \left(\frac{1}{10}\right) +\left(\frac{1}{10}\right)^2+\cdots \right\}^2
\end{align}
ここで、 $~\displaystyle \frac{1}{10}=x$とおくと、
\begin{align}
=(x&+x^2+x^3 \cdots )^2 \\
\\
=(x&+x^2+x^3 \cdots )(x+x^2+x^3 \cdots ) \\
\\
=x^2&+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots \\
&+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots \\
&+x^4+x^5+x^6+\cdots \\
=x^2&+2x^3+3x^4+4x^5+5x^6+\cdots
\end{align}
この式に $~x=\displaystyle \frac{1}{10}=0.1~$ を代入すると、
\begin{align}
=0.01&+0.002+0.0003+0.00004+0.000005+\cdots \\
=0.01&2345 \cdots \\
\end{align}
\begin{align}
=0.01&+0.002+0.0003 \\
&+0.00004+0.000005+\cdots \\
\\
=0.01&2345 \cdots \\
\end{align}
これにより、整数が並んでいくことが示された。 $~\blacksquare$
②なぜ8だけが除外されてしまうのか？を証明する。
上の式を縦に並べてみると、
\begin{align}
&\displaystyle \frac{1}{81} \\
\\
&=0.01+0.002+0.0003+0.00004+0.000005+\cdots \\
\\
&=0.01 \\
&+0.002 \\
&+0.0003 \\
&+0.00004 \\
&+0.000005 \\
&+0.0000006 \\
&+0.00000007 \\
&+0.000000008 \\
&+0.0000000009 \\
&+0.00000000010 \\
&+0.000000000011 +\cdots \\
\\
&=0.012345679012 \cdots
\end{align}
\begin{align}
&\displaystyle \frac{1}{81} \\
\\
&=0.01+0.002+0.0003 \\
&+0.00004+0.000005+\cdots \\
\\
&=0.01 \\
&+0.002 \\
&+0.0003 \\
&+0.00004 \\
&+0.000005 \\
&+0.0000006 \\
&+0.00000007 \\
&+0.000000008 \\
&+0.0000000009 \\
&+0.00000000010 \\
&+0.000000000011 +\cdots \\
\\
&=0.012345679012 \cdots
\end{align}
となるため、“繰り上がり”により8がなくなることが示された。 $~\blacksquare$
・整数が並ぶのは、 $~\displaystyle \left( \frac{1}{9} \right)^2=(0.11111 \cdots)^2~$ の影響
・8が省略されるのは、繰り上がりの影響
ということがわかりました。
同様のことにはなりますが、 $~\displaystyle \frac{1}{9801}~$ についても示しておきます。
①なぜ整数が順番に並んでいくのか？を証明する。
$~\displaystyle \frac{1}{9801}~$ を式変形していく。
\begin{align}
&\displaystyle \frac{1}{9801} \\
\\
&=\frac{1}{99^2} \\
\\
&=\left( \frac{1}{99} \right)^2 \\
\\
&=(0.010101 \cdots)^2 \\
\\
&=\left( \frac{1}{100}+\frac{1}{10000}+\frac{1}{1000000}+\cdots \right)^2
\\
&=\left\{ \left(\frac{1}{100}\right) +\left(\frac{1}{100}\right)^2+\left(\frac{1}{100}\right)^3+\cdots \right\}^2
\end{align}
\begin{align}
&\displaystyle \frac{1}{9801} \\
\\
&=\frac{1}{99^2} \\
\\
&=\left( \frac{1}{99} \right)^2 \\
\\
&=(0.010101 \cdots)^2 \\
\\
&=\left( \frac{1}{100}+\frac{1}{10000}+\cdots \right)^2
\\
&=\left\{ \left(\frac{1}{100}\right) +\left(\frac{1}{100}\right)^2+\cdots \right\}^2
\end{align}
ここで、 $~\displaystyle \frac{1}{100}=x$とおくと、
\begin{align}
=(x&+x^2+x^3 \cdots )^2 \\
\\
=(x&+x^2+x^3 \cdots )(x+x^2+x^3 \cdots ) \\
\\
=x^2&+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots \\
&+x^3+x^4+x^5+x^6+\cdots \\
&+x^4+x^5+x^6+\cdots \\
=x^2&+2x^3+3x^4+4x^5+5x^6+\cdots
\end{align}
この式に $~x=\displaystyle \frac{1}{100}=0.01~$ を代入すると、
\begin{align}
=0.0001&+0.000002+0.00000003+0.0000000004+\cdots \\
=0.0001&020304 \cdots \\
\end{align}
\begin{align}
=0.0001&+0.000002 \\
&+0.00000003+\cdots \\
\\
=0.0001&020304 \cdots \\
\end{align}
これにより、整数（2ケタ表示）が並んでいくことが示された。 $~\blacksquare$
②なぜ98だけが除外されてしまうのか？を証明する。
上の式を縦に並べてみると、
\begin{align}
&\displaystyle \frac{1}{9801} \\
\\
&=0.0001+0.000002+0.00000003+0.0000000004+\cdots \\
\\
&=0.0001 \\
&\cdots \\
&+0.0000 \cdots 096 \\
&+0.0000 \cdots 00097 \\
&+0.0000 \cdots 0000098 \\
&+0.0000 \cdots 000000099 \\
&+0.0000 \cdots 00000000100 \\
&+0.0000 \cdots 0000000000101 +\cdots \\
\\
&=0.0001 \cdots 0969799000102\cdots
\end{align}
\begin{align}
&\displaystyle \frac{1}{9801} \\
\\
&=0.0001+0.000002 \\
&+0.00000003+\cdots \\
\\
&=0.0001 \\
&\cdots \\
&+0.0000 \cdots 096 \\
&+0.0000 \cdots 00097 \\
&+0.0000 \cdots 0000098 \\
&+0.0000 \cdots 000000099 \\
&+0.0000 \cdots 00000000100 \\
&+0.0000 \cdots 0000000000101 +\cdots \\
\\
&=0.0001 \cdots 0969799000102\cdots
\end{align}
となるため、“繰り上がり”により98がなくなることが示された。 $~\blacksquare$
少し複雑にはなりますが、同じように証明できました。
Ⅳ 同様の分数
「②81と9801の共通点」でも出てきましたが、同じような性質を持つ分数は無限に作れます。
\begin{align}
&\displaystyle \frac{1}{998001} \\
\\
&=\left( \frac{1}{999} \right)^2 \\
\\
&=0.\underbrace{000}\underbrace{001}\underbrace{002} \cdots \underbrace{996}\underbrace{997}\underbrace{999}000001 \cdots
\end{align}
\begin{align}
&\displaystyle \frac{1}{99980001} \\
\\
&=\left( \frac{1}{9999} \right)^2 \\
\\
&=0.\underbrace{0000}\underbrace{0001}\underbrace{0002}\cdots \underbrace{9996}\underbrace{9997}\underbrace{9999}00000001 \cdots
\end{align}
\begin{align}
&\displaystyle \frac{1}{998001} \\
\\
&=\left( \frac{1}{999} \right)^2 \\
\\
&=0.\underbrace{000}\underbrace{001} \cdots \underbrace{996}\underbrace{997}\underbrace{999}000 \cdots
\end{align}
\begin{align}
&\displaystyle \frac{1}{99980001} \\
\\
&=\left( \frac{1}{9999} \right)^2 \\
\\
&=0.\underbrace{0000}\underbrace{0001}\cdots \underbrace{9997}\underbrace{9999}0000 \cdots
\end{align}
最後に一般化しておきます。
$~\displaystyle \frac{1}{(10^n-1)^2}~$ すなわち、 $~\displaystyle \frac{1}{\underbrace{99\cdots 9}_{n個}}~$ を小数に直すと、
\begin{equation}
0.\underbrace{\dot{0}\cdots 00}_{nケタ}\underbrace{0\cdots 01}_{nケタ} \cdots \underbrace{9\cdots 97}_{nケタ}\underbrace{9\cdots 9\dot{9}}_{nケタ}
\end{equation}
となる。
難しく見えますが、③までのところで原理はわかっていただけたかと思います。
数の神秘を感じられる話題でした。証明できることに感動です。
◇参考文献等
・「なぜ1/9801は美しいのか」,＜www.geocities.jp/y_white_math/math/1over9801.pdf＞ 2019年3月10日アクセス
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