2021と直方体の対角線

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 2021年最初の記事は、\(~2021^2=x^2+y^2+z^2~\)を満たす自然数\(~x~,~y~,~z~\)の調査。Excel で計算してみました。

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Ⅰ 2021に関する諸事情

あけましておめでとうございます。

 毎年1月1日には、西暦に関するピタゴラス数を探しています。
 昨年2020年の「2020とピタゴラス数」の記事の中では、
\begin{align}
2020^2&=400^2+1980^2 \\
2020^2&=868^2+1824^2 \\
2020^2&=1212^2+1616^2 \\
2020^2&=1344^2+1508^2 \\
\end{align}
を見つけたり、一昨年の「2019とピタゴラス数」の記事の中では、
\begin{equation}
2019^2=1155^2+1656^2
\end{equation}
を見つけたりと順調に年賀状のネタとして活躍してくれました。

しかし、今年に関しては、
\begin{align}
2020&=x^2+y^2 \\
2020^2&=x^2+y^2
\end{align}
を満たす自然数の組\(~(~x~,~y~)~\)は見つからなかったため、
\begin{align}
2020^2&=x^2+y^2+z^2
\end{align}
を満たす自然数の組\(~(~x~,~y~,~z~)~\)を探すことにしました。


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Ⅱ 2021と直方体の対角線

 実際に、Excelをうまく使って、パソコンがフリーズしながらも探すこと3時間・・・・。

175組見つかりました!

 下の表は、\(~2021^2=x^2+y^2+z^2~\)を満たす自然数の組\(~(~x~,~y~,~z~)~\)を全て挙げたものです。

\(~x~\) \(~y~\) \(~z~\)
4 405 1980
4 864 1827
4 1341 1512
21 60 2020
21 508 1956
21 1164 1652
21 1260 1580
24 189 2012
24 504 1957
24 771 1868
24 1056 1723
27 384 1984
32 84 2019
32 699 1896
32 876 1821
32 1344 1509
36 176 2013
36 792 1859
36 1012 1749
36 1067 1716
48 76 2019
48 869 1824
59 336 1992
59 456 1968
59 816 1848
59 1392 1464
60 675 1904
60 1085 1704
60 1260 1579
67 504 1956
67 984 1764
76 867 1824
76 939 1788
76 1644 1173
84 171 2012
84 528 1949
84 616 1923
84 661 1908
84 747 1876
84 1237 1596
84 1344 1507
85 396 1980
86 903 1806
94 423 1974
94 846 1833
99 372 1984
99 1364 1488
108 669 1904
108 1309 1536
120 1021 1740
120 1371 1480
132 491 1956
132 1004 1749
144 328 1989
144 357 1984
144 931 1788
144 1373 1476
148 864 1821
148 1149 1656
157 1056 1716
165 680 1896
165 904 1800
171 540 1940
171 644 1908
171 732 1876
171 1596 1228
176 312 1989
176 477 1956
176 741 1872
176 792 1851
176 1443 1404
189 284 1992
189 472 1956
189 504 1948
189 796 1848
189 1572 1256
213 1476 1364
216 456 1957
216 1539 1292
248 1464 1371
252 291 1984
252 644 1899
252 1579 1236
258 1634 1161
276 427 1956
276 1652 1131
282 329 1974
284 1707 1044
288 419 1956
288 1616 1179
291 356 1968
291 1436 1392
312 1716 1021
315 1704 1040
328 1476 1341
336 1629 1148
356 363 1956
356 1464 1347
357 1536 1264
363 1716 1004
364 1557 1236
372 384 1949
372 1539 1256
381 1644 1112
384 1467 1336
396 405 1940
396 1488 1309
400 1560 1221
419 1404 1392
420 1571 1200
423 1786 846
427 1596 1164
445 1800 804
453 1904 504
456 1436 1347
472 1701 984
473 1806 774
477 1616 1116
483 1824 724
491 1644 1068
500 1404 1365
504 1445 1320
508 1596 1131
528 1851 616
540 1579 1140
571 1656 1008
573 1404 1336
576 1428 1309
581 1824 648
588 1579 1116
600 1596 1085
603 1464 1256
616 1488 1221
636 1443 1264
643 1464 1236
644 1368 1341
648 1371 1336
661 1476 1212
669 1428 1264
675 1596 1040
680 1371 1320
699 1536 1112
708 1341 1336
724 1707 804
725 1404 1260
741 1392 1264
771 1480 1140
774 1462 1161
780 1560 1021
788 1464 1149
792 1371 1256
796 1365 1260
797 1536 1044
804 1436 1173
816 1443 1156
832 1509 1056
837 1344 1256
840 1605 896
846 1410 1175
864 1368 1211
869 1488 1056
876 1476 1067
904 1341 1212
931 1344 1188
939 1436 1068
948 1464 1021
972 1364 1131
984 1341 1148
1004 1320 1155
1008 1256 1221
1021 1320 1140
1053 1364 1056
1112 1236 1149
1120 1200 1179
1131 1212 1156

 これらを全て年賀状に書いてしまうと、迷惑でしかないため、今年の年賀状は、
\begin{equation}
2021^2=21^2+60^2+2020^2
\end{equation}
を採用しました。
 \(~2021~\)の\(~21~\)、時間として馴染みが深い\(~60~\)、昨年の西暦\(~2020~\)という3つの自然数に美しさを感じたからです。
 
 ちなみに、直方体を描くとこのようなものに・・・。

 もはや棒ですね。
 
 良い1年になりますように。

 ふくすけからの年賀状、毎年異色だにゃ。
ふくすけ汗

今年は見つけるのが大変でした・・・。

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Posted by Fuku