\(~a^b~\)と\(~b^a~\)の大小

数学雑学指数・対数, 関数・グラフ数学雑学, 関数・グラフ

\(~a^b~\)と\(~b^a~\)の値の大小に規則性はあるでしょうか?
 また、\(~e^{\pi}~\)と\(~\pi ^e~\)はどちらが大きいのかを考えていきます。

スポンサーリンク

Ⅰ 具体例

 今回の問題を考えるにあたって、\(~0 < a < b~\)としておきます。
 まずは、\(~a~\)と\(~b~\)にいろいろな値を代入してみて、どちらが大きくなるのかを実験してみましょう。

代入例

(1) \(~a=1~,~b=2~\)のとき、
 \(~1^2=1~,~2^1=2~\)より、
\begin{equation}
1^2 < 2^1 \end{equation} (2) \(~a=2~,~b=3~\)のとき、
 \(~2^3=8~,~3^2=9~\)より、
\begin{equation}
2^3 < 3^2 \end{equation} (3) \(~a=3~,~b=4~\)のとき、
 \(~3^4=81~,~4^3=64~\)より、
\begin{equation}
3^4 > 4^3
\end{equation}
(4) \(~a=4~,~b=5~\)のとき、
 \(~4^5=1024~,~5^4=625~\)より、
\begin{equation}
4^5 > 5^4
\end{equation}
(5) \(~a=2~,~b=4~\)のとき、
 \(~2^4=16~,~4^2=16~\)より、
\begin{equation}
2^4 = 4^2
\end{equation}
(6) \(~\displaystyle a=\frac{1}{2}~,~b=4~\)のとき、
 \(~\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^4=\frac{1}{16}~,~4^{\frac{1}{2}}=2~\)より、
\begin{equation}
\left( \frac{1}{2} \right)^4 < 4^{\frac{1}{2}} \end{equation} (7) \(~\displaystyle a=2~,~b=\frac{5}{2}~\)のとき、
 \(~\displaystyle 2^{\frac{5}{2}}=4\sqrt{2}\fallingdotseq 5.66~,~\left( \frac{5}{2} \right)^2=\frac{25}{4}=6.25~\)より、
\begin{equation}
2^{\frac{5}{2}} < \left( \frac{5}{2} \right)^2 \end{equation} (8) \(~\displaystyle a=2~,~b=\frac{7}{2}~\)のとき、
 \(~\displaystyle 2^{\frac{7}{2}}=8\sqrt{2}\fallingdotseq 11.31~,~\left( \frac{7}{2} \right)^2=\frac{49}{4}=12.25~\)より、
\begin{equation}
2^{\frac{7}{2}} < \left( \frac{7}{2} \right)^2 \end{equation} (9) \(~\displaystyle a=3~,~b=\frac{7}{2}~\)のとき、

\(~\displaystyle 3^{\frac{7}{2}}=27\sqrt{3}\fallingdotseq 46.77~,~\left( \frac{7}{2} \right)^3=\frac{343}{8}=42.875~\)より、

\(~\displaystyle 3^{\frac{7}{2}}=27\sqrt{3}\fallingdotseq 46.77~\),\(~\displaystyle \left( \frac{7}{2} \right)^3=\frac{343}{8}=42.875~\)より、

 
\begin{equation}
3^{\frac{7}{2}} > \left( \frac{7}{2} \right)^3
\end{equation}
(10) \(~a=1~,~b=100~\)のとき、
 \(~1^{100}=1~,~100^1=100~\)より、
\begin{equation}
1^{100} < 100^1 \end{equation}

 (1)や(2)のように、\(~a^b < b^a~\)になるかと思えば、(3)や(4)のように\(~a^b > b^a~\)となることもあります。
 また、(5)のように\(~a^b = b^a~\)となる例もあり、規則性が具体例からだと見つかりません。


スポンサーリンク


Ⅱ 大小関係の規則性

 具体例から規則性は掴みづらかったため、今度は数式で解釈を試みます。
 先に結論を示すと、自然対数を利用することで、次のような関係性が現れます。

\(~a^b~\)と\(~b^a~\)の大小

 \(~0 < a < b~\)のとき、\(~e~\)を自然対数の底とすると、

\begin{cases}
0 < a < b \le e なら、&a^b < b^a \\ e \le a < b なら、&a^b > b^a \\
0 < a < e < b なら、&a~と~b~の値によって変わる \end{cases}

\begin{cases}
&0 < a < b \le e なら、a^b < b^a \\ &e \le a < b なら、a^b > b^a \\
&0 < a < e < b なら、\\ &~~~~~~~~~~a~と~b~の値によって変わる \end{cases}

 3つ目のパターンはモヤモヤしますね。
 では、\(~a^b~\)と\(~b^a~\)の大小の導出過程をお示しします。

導出

 \(~0 < a < b~\)において、\(~a^b < b^a~\)の両辺に自然対数をとって、 式変形をしていく。 \begin{align} \log{a^b} &< \log{b^a} \\ \\ b \log{a} &< a \log{b} \\ \\ \frac{\log{a}}{a} &< \frac{\log{b}}{b} \\ \end{align}  ここで、\(~\displaystyle f(x)=\frac{x}{\log{x}}~\)とおくと、以上の式変形から \begin{equation} a^b < b^a \Longleftrightarrow f(a) < f(b) \end{equation} が言える。
 
 次に、\(~\displaystyle f(x)=\frac{x}{\log{x}}~~~(~0 < x~)~\)のグラフを考える。
 1階微分から、
\begin{align}
f^{\prime}(x)&=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\log{x}}{x^2} \\
\\
&=\frac{1-\log{x}}{x^2}
\end{align}
なので、\(~f^{\prime}(e)=0~\)である。
 
 2階微分から、
\begin{align}
f^{\prime \prime}(x)&=\frac{-\frac{1}{x}\cdot x^2-(1-\log{x})\cdot 2x}{(x^2)^2} \\
\\
&=\frac{-x-2x(1-\log{x})}{x^4} \\
\\
&=\frac{-1-2+2\log{x}}{x^3} \\
\\
&=\frac{2\log{x}-3}{x^3}
\end{align}
なので、\(\displaystyle ~f^{\prime \prime}(e^{\frac{3}{2}})=0~\)である。
 
 また、
\begin{equation}
\lim_{x \ to 0+}\frac{\log{x}}{x}=-\infty~,~\lim_{x \ to \infty}\frac{\log{x}}{x}=0
\end{equation}
を含めて増減表を作成すると、
増減表
となるため、下のようなグラフが書ける。
グラフ
 グラフから、\(~0 < x \le e~\)では単調増加なので、
\(~0 < a < b \le e~\)なら\(~f(a) < f(b)~\)、すなわち\(~a^b < b^a~\)。
 
 グラフから、\(~e \le x~\)では単調増加なので、
\(~e \le a < b~\)なら\(~f(a) > f(b)~\)、すなわち\(~a^b > b^a~\)。
 
 \(~a < e < b~\)に関しては、\(~f(a)~\)と\(~f(b)~\)の値をその都度比較する必要がある。

 グラフから、\(~a \le 1~\)であれば、\(~f(a) \le 0~\)、\(~e \le b~\)であれば、\(~f(b) > 0~\)となるため、
\begin{equation}
0 < a \le 1~,~e < b なら、a^b < b^a \end{equation} ということまでは導けますが、それ以外の\(~a < e < b~\)に関しては、実際に代入してみないと比較ができません。
 
 また、グラフからわかることとして、\(~f(2)=f(4) \Longleftrightarrow 2^4=4^2~\)のように、\(~1 < a < e~\)を満たす\(~a~\)に対しては、\(~a^b=b^a~\)となる\(~b~~(e < b)~\)が存在することも言えます。 f(2)とf(4)のグラフ


スポンサーリンク


Ⅲ 最強の底は\(~e~\)

 先のグラフから、\(~\displaystyle f(x)=\frac{x}{\log{x}}~\)は\(~x=e~\)で最大値をとることがわかります。
 そのため、\(~e~\)以外の\(~x > 0~\)において、\(~e^x > x^e~\)が言えます。
 
 つまり、こんな式も成り立つということです。
\begin{equation}
e^{\pi} > \pi^2
\end{equation}
 実際の近似値としては、
\begin{equation}
e^{\pi}\fallingdotseq 23.14~~,~\pi^2 \fallingdotseq 22.46
\end{equation}
となります。
 ちなみに\(~e^{\pi}~\)はゲルフォントの定数と言い、
\begin{equation}
e^{\pi}-\pi\fallingdotseq 19.9991
\end{equation}
で、ほぼ整数(\(~20~\))となります。
 この定数は、超越数の研究を行ったロシアの数学者、アレクサンダー・ゲルフォント(Alexander Gelfond , 1906-1968)にちなんで名づけられました。


ふくすけ汗
そもそもこの記事は、\(~e^{\pi}~\)と\(~\pi^e~\)のどっちが大きいのか知りたくて、まずは一般化した\(~a^b~\)と\(~b^a~\)で考えてみたら結論に行きつけたんだ。
\(~e^{\pi}~\)と\(~\pi^e~\)の大小比較をしたいと思う人、普通はいないにゃ。