絶対値を含んだ方程式での「解なし」条件とは?

 数学Ⅰの教科書に出てくる絶対値を含む方程式の多くは、不適解があるものの、適する解が1つ以上必ず出てきます。
 では、場合分け後の解がすべて不適となる「解なし」が出てくることはあるのか? また、そのための条件を探ってみましょう!


目次

Ⅰ 「解なし」の例

 絶対値を含んだ方程式と言っても、絶対値が1つだけの基本的なものから、絶対値が3つ以上含まれる複雑なものまであります。
 
 本記事では、数学Ⅰの教科書の例題にもなっている、$~ax+b=|cx+d|~$の形の方程式について考えます。
 
 まずは教科書にも載っている問題を1問見てみましょう。

例題1

$~3x+1=|x+3|~$を解く。
 $~x+3 \geqq 0~$、すなわち$~x \geqq -3~$のとき、
\begin{align}
3x+1&=x+3 \\
2x&=2 \\
x&=1
\end{align}
これは、条件$~x \geqq -3~$を満たす。
 
 $~x+3 < 0~$、すなわち$~x < -3~$のとき、 \begin{align} 3x+1&=-(x+3) \\ 3x+1&=-x-3 \\ 4x&=-4 \\ x&=-1 \end{align}  これは、条件$~x < -3~$に適さない。
 
 よって、方程式の解は$~x=1~$。

 上のように、絶対値の中が正か負かで絶対値の外し方が変わり、出てきた解が条件に適しているかを判断する必要があります。
 
 教科書や問題集を解いていると、解が1つだけとなったり、解が2つになったりすることが多いのですが、以下の問題を解いてみましょう。

例題2

$~x-4=|2x-1|~$
 $~2x-1 \geqq 0~$、すなわち$~\displaystyle x \geqq \frac{1}{2}~$のとき、
\begin{align}
x-4&=2x-1 \\
-x&=3 \\
x&=-3
\end{align}
これは、条件$~\displaystyle x \geqq \frac{1}{2}~$に適さない。
 
 $~2x-1 < 0~$、すなわち$~\displaystyle x < \frac{1}{2}~$のとき、 \begin{align} x-4&=-(2x-1) \\ x-4&=-2x+1 \\ 3x&=5 \\ x&=\frac{5}{3} \end{align}  これは、条件$~\displaystyle x < \frac{1}{2}~$に適さない。
 
 よって、方程式の解はない。

 ということでどちらも不適で、「解なし」となってしまいました。
 
 実は、連立方程式
\begin{cases}
y=x-4 & \\
y=|2x-1| &
\end{cases}
として捉えて、グラフで考えてあげると、解なしの理由がわかります。

 確かに交わっていないですね。
 交わらないための条件として、傾き($~x~$の係数)が絡んできそうです。
 
 次章では、解なしとなるための条件を探っていきます。


Ⅱ 「解なし」となるための条件

 先に一般化した結論を述べておきます。

「解なし」の条件

 方程式 $~ax+b=|cx+d|~$が、解なしとなるための条件は、
定数$~a~,~b~,~c~,~d~$が以下のいずれかの式の組み合わせをすべて満たすことである。
\begin{cases}
a+c > 0 & \\
a-c < 0 & \\ c > 0 & \\
bc < ad & \end{cases} または \begin{cases} a+c < 0 & \\ a-c > 0 & \\
c < 0 & \\ bc < ad & \end{cases}

 ちょっと複雑になってしまいました。

2020.9.30追記
 whityさんのコメントを参考に、
\begin{cases}
|a| < c & \\ c > 0 & \\
bc < ad & \end{cases} または \begin{cases} |a| < -c & \\ c < 0 & \\ bc < ad & \end{cases} と必要な式の数を減らすことができるとわかりました。
 
 絶対値の性質上、$~|cx+d|~$において、$~c > 0~$としても一般性を失わないので、
\begin{cases}
|a| < c & \\ bc < ad & \end{cases} という式だけでも表せますね。
 
 whityさんが「GeoGebra」で$~a~,~b~,~c~,~d~$の関係を図示してくださっています。(すごい!)

 
 先ほどの例題2で言えば、$~a=1~,b=-4~,c=2~,d=-1~$なので、上の組み合わせを満たしていることになります。
 
 次に、このような結論に至った理由をお示しします。

証明

$~ax+b=|cx+d|~~~(a \neq 0~~,~~c \neq 0)$を解く。
 $~cx+d \geqq 0~$、すなわち$~\displaystyle x \geqq -\frac{d}{c}~$のとき、
\begin{align}
ax+b&=cx+d \\
(a-c)x&=-(b-d) \\
x&=-\frac{b-d}{a-c}
\end{align}
この解が不適となるためには、
\begin{align}
-\frac{b-d}{a-c} &< -\frac{d}{c} \\ \frac{b-d}{a-c} &> \frac{d}{c} ~~~~\cdots ①
\end{align}
を満たす必要がある。(ただし、$~a-c \neq 0~$)
 
 また、$~cx+d < 0~$、すなわち$~\displaystyle x < -\frac{d}{c}~$のとき、 \begin{align} ax+b&=-(cx+d) \\ ax+b=-cx-d \\ (a+c)x&=-(b+d) \\ x&=-\frac{b+d}{a+c} \end{align} この解が不適となるためには、 \begin{align} -\frac{b+d}{a+c} &\geqq -\frac{d}{c} \\ \frac{b+d}{a+c} &\leqq \frac{d}{c} ~~~~\cdots ② \end{align} を満たす必要がある。(ただし、$~a+c \neq 0~$)
 
 ここで$①$に関して、両辺に$~\times c(a-c)~$をして、式を整理する。
(ⅰ) $~a-c > 0~,~c > 0~$のとき、
\begin{align}
(b-d)c &> d(a-c) \\
bc-cd &> ad-cd \\
bc &> ad
\end{align}
 
以下同様に、
(ⅱ) $~a-c < 0~,~c < 0~$のとき、 \begin{equation} bc > ad
\end{equation}
 
(ⅲ) $~a-c > 0~,~c < 0~$のとき、 \begin{equation} bc < ad \end{equation}   (ⅳ) $~a-c < 0~,~c > 0~$のとき、
\begin{equation}
bc < ad \end{equation} である。
 
また、$②$に関して、両辺に$~\times c(a+c)~$をして、式を整理する。
(ⅴ) $~a+c > 0~,~c > 0~$のとき、
\begin{align}
(b+d)c &> d(a+c) \\
bc+cd &> ad+cd \\
bc &\leqq ad
\end{align}

 
以下同様に、
(ⅵ) $~a+c < 0~,~c < 0~$のとき、 \begin{equation} bc \leqq ad \end{equation}   (ⅶ) $~a+c > 0~,~c < 0~$のとき、 \begin{equation} bc \geqq ad \end{equation}   (ⅷ) $~a+c < 0~,~c > 0~$のとき、
\begin{equation}
bc \geqq ad
\end{equation}
である。
 
 
 $~bc~$と$~ad~$の大小関係、$~c~$の符号に着目すると、(ⅰ)と(ⅷ)、(ⅱ)と(ⅶ)、(ⅲ)と(ⅵ)、(ⅳ)と(ⅴ)の組み合わせがあり得るものの、
 
(ⅰ)と(ⅷ)では、$~a > c > 0~$で、$~a+c < 0~$にはなり得ない。
(ⅱ)と(ⅶ)では、$~a < c < 0~$で、$~a+c > 0~$にはなり得ない。
 
よって、(ⅳ)と(ⅴ)より、
\begin{cases}
a+c > 0 & \\
a-c < 0 & \\ c > 0 & \\
bc < ad & \end{cases} という条件か、(ⅲ)と(ⅵ)より、 \begin{cases} a+c < 0 & \\ a-c > 0 & \\
c < 0 & \\ bc < ad & \end{cases} という条件で、方程式 $~ax+b=|cx+d|~$を作ると、解なしとなることが言える。$~~\blacksquare~$

 不等式なので、$~c~$や$~a-c~$、$~a+c~$の符号に気を付けないと、不等号が逆になってしまうところが面倒な証明でした。

2020.9.30追記
\begin{cases}
a+c > 0 & ~~~\cdots ③\\
a-c < 0 & ~~~\cdots ④\\ c > 0 & \\
bc < ad & \end{cases} で、$③$と$④$を式変形すると、 \begin{cases} a > -c & \\
a < c & \\ \end{cases} であり、$~c > 0~$なので、$~c > -c~$となるため、2つの式を合わせて、
\begin{align}
-c < &a < c \\ |a| &< c \end{align} と表すことができます。(もう1パターンも同様)
 
 コメントいただきましたwhityさん、ありがとうございました。

 もっときれいな条件が出てくるかと思いきや・・・。大変な計算になってしまいました。


 
 


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コメント

コメント一覧 (2件)

  • どの記事も興味深く読ませていただいております。

    解をもたない条件ですが、もう少し簡潔に表現できそうです。
    まず、絶対値の性質より、c>0としても一般性を失いません。
    f(x)=ax+b
    g(x)=|cx+d|
    としてグラフを考えることにより、f(-d/c)<0を得ます。
    また、fの傾きはgと平行までが許されるため、|a<=c

    以上より、
    ad-bc<0
    |a|<=c
    が従います。

    参考までに、考える際に私が利用したGeoGebraのデータも添付しておきます。
    https://www.geogebra.org/m/fxttctvs

    • コメントありがとうございます。
      GeoGebraによる図示、非常にわかりやすかったです。
      ご助言を参考に、もう一度この問題について考えてみました。
      そして、考えている中で\(~a-c=0~\)や\(~a+c=0~\)のときのことを見落としていたことに気付き、そこを加味すれば、\(~|a| \le c~\)になることが言えそうです。
       
      時間があるときに、この記事をリライトしようと思っております。
      間違いをご指摘いただき、本当にありがとうございました。

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