絶対値を含んだ方程式での「解なし」条件とは？

\(~ax+b=|cx+d|~~~(a \neq 0~~,~~c \neq 0)\)を解く。
　\(~cx+d \geqq 0~\)、すなわち\(~\displaystyle x \geqq -\frac{d}{c}~\)のとき、
\begin{align}
ax+b&=cx+d \\
(a-c)x&=-(b-d) \\
x&=-\frac{b-d}{a-c}
\end{align}
この解が不適となるためには、
\begin{align}
-\frac{b-d}{a-c} &< -\frac{d}{c} \\ \frac{b-d}{a-c} &> \frac{d}{c} ~~~~\cdots ①
\end{align}
を満たす必要がある。（ただし、\(~a-c \neq 0~\)）
 
　また、\(~cx+d < 0~\)、すなわち\(~\displaystyle x < -\frac{d}{c}~\)のとき、 \begin{align} ax+b&=-(cx+d) \\ ax+b=-cx-d \\ (a+c)x&=-(b+d) \\ x&=-\frac{b+d}{a+c} \end{align} この解が不適となるためには、 \begin{align} -\frac{b+d}{a+c} &\geqq -\frac{d}{c} \\ \frac{b+d}{a+c} &\leqq \frac{d}{c} ~~~~\cdots ② \end{align} を満たす必要がある。（ただし、\(~a+c \neq 0~\)）
 
　ここで\(①\)に関して、両辺に\(~\times c(a-c)~\)をして、式を整理する。
（ⅰ）　\(~a-c > 0~,~c > 0~\)のとき、
\begin{align}
(b-d)c &> d(a-c) \\
bc-cd &> ad-cd \\
bc &> ad
\end{align}
 
以下同様に、
（ⅱ）　\(~a-c < 0~,~c < 0~\)のとき、 \begin{equation} bc > ad
\end{equation}
 
（ⅲ）　\(~a-c > 0~,~c < 0~\)のとき、 \begin{equation} bc < ad \end{equation}   （ⅳ）　\(~a-c < 0~,~c > 0~\)のとき、
\begin{equation}
bc < ad \end{equation} である。
 
また、\(②\)に関して、両辺に\(~\times c(a+c)~\)をして、式を整理する。
（ⅴ）　\(~a+c > 0~,~c > 0~\)のとき、
\begin{align}
(b+d)c &> d(a+c) \\
bc+cd &> ad+cd \\
bc &\leqq ad
\end{align}

 
以下同様に、
（ⅵ）　\(~a+c < 0~,~c < 0~\)のとき、 \begin{equation} bc \leqq ad \end{equation}   （ⅶ）　\(~a+c > 0~,~c < 0~\)のとき、 \begin{equation} bc \geqq ad \end{equation}   （ⅷ）　\(~a+c < 0~,~c > 0~\)のとき、
\begin{equation}
bc \geqq ad
\end{equation}
である。
 
 
　\(~bc~\)と\(~ad~\)の大小関係、\(~c~\)の符号に着目すると、（ⅰ）と（ⅷ）、（ⅱ）と（ⅶ）、（ⅲ）と（ⅵ）、（ⅳ）と（ⅴ）の組み合わせがあり得るものの、
 
（ⅰ）と（ⅷ）では、\(~a > c > 0~\)で、\(~a+c < 0~\)にはなり得ない。
（ⅱ）と（ⅶ）では、\(~a < c < 0~\)で、\(~a+c > 0~\)にはなり得ない。
 
よって、（ⅳ）と（ⅴ）より、
\begin{cases}
a+c > 0 & \\
a-c < 0 & \\ c > 0 & \\
bc < ad & \end{cases} という条件か、（ⅲ）と（ⅵ）より、 \begin{cases} a+c < 0 & \\ a-c > 0 & \\
c < 0 & \\ bc < ad & \end{cases} という条件で、方程式 \(~ax+b=|cx+d|~\)を作ると、解なしとなることが言える。\(~~\blacksquare~\)