絶対値を含んだ方程式での「解なし」条件とは？

$~ax+b=|cx+d|~~~(a \neq 0~~,~~c \neq 0)$を解く。
　$~cx+d \geqq 0~$、すなわち$~\displaystyle x \geqq -\frac{d}{c}~$のとき、
\begin{align}
ax+b&=cx+d \\
(a-c)x&=-(b-d) \\
x&=-\frac{b-d}{a-c}
\end{align}
この解が不適となるためには、
\begin{align}
-\frac{b-d}{a-c} &< -\frac{d}{c} \\ \frac{b-d}{a-c} &> \frac{d}{c} ~~~~\cdots ①
\end{align}
を満たす必要がある。（ただし、$~a-c \neq 0~$）
 
　また、$~cx+d < 0~$、すなわち$~\displaystyle x < -\frac{d}{c}~$のとき、 \begin{align} ax+b&=-(cx+d) \\ ax+b=-cx-d \\ (a+c)x&=-(b+d) \\ x&=-\frac{b+d}{a+c} \end{align} この解が不適となるためには、 \begin{align} -\frac{b+d}{a+c} &\geqq -\frac{d}{c} \\ \frac{b+d}{a+c} &\leqq \frac{d}{c} ~~~~\cdots ② \end{align} を満たす必要がある。（ただし、$~a+c \neq 0~$）
 
　ここで$①$に関して、両辺に$~\times c(a-c)~$をして、式を整理する。
（ⅰ）　$~a-c > 0~,~c > 0~$のとき、
\begin{align}
(b-d)c &> d(a-c) \\
bc-cd &> ad-cd \\
bc &> ad
\end{align}
 
以下同様に、
（ⅱ）　$~a-c < 0~,~c < 0~$のとき、 \begin{equation} bc > ad
\end{equation}
 
（ⅲ）　$~a-c > 0~,~c < 0~$のとき、 \begin{equation} bc < ad \end{equation}   （ⅳ）　$~a-c < 0~,~c > 0~$のとき、
\begin{equation}
bc < ad \end{equation} である。
 
また、$②$に関して、両辺に$~\times c(a+c)~$をして、式を整理する。
（ⅴ）　$~a+c > 0~,~c > 0~$のとき、
\begin{align}
(b+d)c &> d(a+c) \\
bc+cd &> ad+cd \\
bc &\leqq ad
\end{align}

 
以下同様に、
（ⅵ）　$~a+c < 0~,~c < 0~$のとき、 \begin{equation} bc \leqq ad \end{equation}   （ⅶ）　$~a+c > 0~,~c < 0~$のとき、 \begin{equation} bc \geqq ad \end{equation}   （ⅷ）　$~a+c < 0~,~c > 0~$のとき、
\begin{equation}
bc \geqq ad
\end{equation}
である。
 
 
　$~bc~$と$~ad~$の大小関係、$~c~$の符号に着目すると、（ⅰ）と（ⅷ）、（ⅱ）と（ⅶ）、（ⅲ）と（ⅵ）、（ⅳ）と（ⅴ）の組み合わせがあり得るものの、
 
（ⅰ）と（ⅷ）では、$~a > c > 0~$で、$~a+c < 0~$にはなり得ない。
（ⅱ）と（ⅶ）では、$~a < c < 0~$で、$~a+c > 0~$にはなり得ない。
 
よって、（ⅳ）と（ⅴ）より、
\begin{cases}
a+c > 0 & \\
a-c < 0 & \\ c > 0 & \\
bc < ad & \end{cases} という条件か、（ⅲ）と（ⅵ）より、 \begin{cases} a+c < 0 & \\ a-c > 0 & \\
c < 0 & \\ bc < ad & \end{cases} という条件で、方程式 $~ax+b=|cx+d|~$を作ると、解なしとなることが言える。$~~\blacksquare~$