アキレスと亀

数学雑学集合・論理数学雑学

 古代ギリシアの哲学者ゼノンが紹介したパラドックスの中の1つに「アキレスと亀」というものがあります。無限と絡めながら、このパラドックスを解説します。
Ⅰ パラドックスの内容
Ⅱ 無限級数による理解
Ⅲ 方程式による理解


目次
  • 1. Ⅰ パラドックスの内容
  • 2. Ⅱ 無限級数による理解
  • 3. Ⅲ 方程式による理解

Ⅰ パラドックスの内容

 まずはパラドックスの中身です↓↓

アキレスと亀

 俊足のアキレスとゆっくり進む亀がいる。亀がアキレスよりも前方にいるとき、アキレスは亀に追いつくことができない。

 「え? そんなの追いつけるに決まってるじゃん!」と思いますよね(;・∀・)
 ただ、次のように考えてあげると、追いつけないような気がしてきます・・・

考え方

 アキレスの進む速さを秒速10mとする。亀の進む速さを秒速1mとする。また、亀はアキレスの前方10mにいるとする。

 
①1秒後
 アキレスは10m進み、亀は1m進むので11mの位置にいる。

 
②さらに0.1秒後
 の状態から、アキレスは1m進み、亀は0.1m進む。
※数直線は10.0m11.4mの部分を拡大しています。

 
③さらに0.01秒後
 の状態から、アキレスは0.1m進み、亀は0.01m進む。
※数直線は11.00m11.14mの部分を拡大しています。

 
 アキレスが亀のいた位置に追いつくときには、亀はまた前方に進んでしまっている。
 これを繰り返していくため、アキレスはいつまで経っても亀に追いつくことはできない。

 「なるほど~」と思いますよね。さぁ、この考え方のどこに誤りがあるのでしょうか・・・。


Ⅱ 無限級数による理解

 実は、アキレスが走る時間に注目してあげると、謎が解明できます。

無限級数による理解

 アキレスは上の考え方からもわかるよう、亀に追いつくために
\begin{equation}
1+0.1+0.01+0.001+\cdots (秒)
\end{equation}
走ることになる。
 
 しかし、これは初項 1 、公比 0.1 の等比数列の無限和である。
したがって、

\begin{align}
1+0.1+0.01+0.001+\cdots &= \displaystyle \frac{1}{1-0.1} \\
\\
&=\frac{1}{0.9} \\
\\
&=\frac{10}{9} \\
\\
&=1.111 \cdots
\end{align}


\begin{align}
&1+0.1+0.01+0.001+\cdots \\
\\
&= \displaystyle \frac{1}{1-0.1} \\
\\
&=\frac{1}{0.9} \\
\\
&=\frac{10}{9} \\
\\
&=1.111 \cdots
\end{align}

と、約1.111秒に収束する。

 つまり、1.2秒の時点ではアキレスが亀を抜いていることになります。
 かかった時間を無限に足していくので、一見すると追いつくまでの時間が無限(追いつけない)かと誤解しそうですが、実際は有限な値になるということです。


 

Ⅲ 方程式による理解

 元も子もないですが、中1レベルの方程式で簡単に考えられます。

方程式による理解

  \(~x~\) をアキレスが亀に追いつくまでにかかった時間(秒)とする。

  \(~x~\) 秒後に、アキレスは \(~10x~\) mの地点に、亀は \(~x+10~\) mの地点にいるため、次の方程式が成り立つ。
\begin{equation}
10x=x+10
\end{equation}
これを解いて、
\begin{align}
9x&=10 \\
\\
\displaystyle x&=\frac{10}{9} \\
\\
x&=1.111\cdots
\end{align}
 よって、アキレスは約1.111秒後に亀に追いつく。

 よくある方程式の文章題ですね。無限級数の和と見事に一致しています。
 
 無限の扱い方を間違ってしまうと、人が亀に追いつけないと誤認してしまうパラドックスでした。


 無限の概念は奥深い(><) 亀の絵については、触れないでください・・・

   
 
 


◇参考文献等
・青柳碧人(2015)『浜村渚の計算ノート 3さつめ』,pp.35-39,新潮社.
・高橋昌一郎(2014『ニュートン別冊 絵解きパラドックス』,pp.128-129,ニュートンプレス.