アルハゼンの定理とは？中学3年生レベルの問題例と証明を2種類解説！

　図において、$~\angle APB~$の大きさは、$~\overset{\frown}{AB}~$と$~\overset{\frown}{CD}~$に対する円周角の和に等しい。

　図において、$~\angle AQB~$の大きさは、$~\overset{\frown}{AB}~$と$~\overset{\frown}{CD}~$に対する円周角の差に等しい。

　次の図において、$~\angle~APB~,~\angle~AQB~$の大きさをそれぞれ求めなさい。

　　円周角の定理より、

\angle DAC = \angle DBC = 30°

　である。

　$~\triangle PAD~$で外角の性質から、

\angle APB = 60° + 30° = 90°

が求められ、$~\triangle QBD~$で外角の性質から、

\begin{align*}
\angle AQB + 30° &= 60°  \\
\angle AQB &=30° 
\end{align*}

が求められた。

　$~\overset{\frown}{AB}~$に対する円周角は$~60°~$、$~\overset{\frown}{CD}~$に対する円周角は$~30°~$なので、アルハゼンの定理より、

\begin{align*}
\angle APB &= 60° + 30° &= 90°\\
\angle AQB &= 60° - 30° &= 30°
\end{align*}

が求められた。

　$~\overset{\frown}{AB}~$に対する円周角の大きさを$~x°~$、$~\overset{\frown}{CD}~$に対する円周角の大きさを$~y°~$とする。

　このとき、

\angle APB = x°,\angle PAB = \angle PBC = y°

である。

　$~\triangle PAD~$で外角の性質から、

\angle APB = \angle ADP + \angle DAP = x° + y° \cdots ①

となる。

　また、$~\triangle QBD~$で外角の性質から

\begin{align*}
\angle AQB + \angle QBD &= \angle ADB\\
\angle AQB + y° &= x°\\
\angle AQB &= x° - y° \cdots ②
\end{align*}

となる。

　$~①,②~$より、アルハゼンの定理は示された。$~\blacksquare~$

　$~C~$を通り$~BD~$と平行な直線が円と交わる点を$~E~$とする。

　このとき、$~\overset{\frown}{CD} = \overset{\frown}{EB}~$であるため、$~\overset{\frown}{CD}~$に対する円周角の大きさは、$~\overset{\frown}{EB}~$に対する円周角の大きさと等しい。$~\cdots ①~$

　また、$~BD//CE~$の同位角より、

\angle APB = \angle ACE \cdots ②

である。

　$~\angle ACE~$は、$~\overset{\frown}{AB} + \overset{\frown}{EB}~$に対する円周角の大きさと等しいため、$~①,②~$より、$~\angle APB~$は$~\overset{\frown}{AB} + \overset{\frown}{CD}~$に対する円周角の大きさと等しくなる。$~\cdots ③~$

　次に、$~C~$を通り$~AD~$と平行な直線が円と交わる点を$~F~$とする。

　このとき、$~\overset{\frown}{CD} = \overset{\frown}{AF}~$であるため、$~\overset{\frown}{CD}~$に対する円周角の大きさは、$~\overset{\frown}{AF}~$に対する円周角の大きさと等しい。 $~\cdots ④~$

　また、$~AQ//FC~$の同位角より、

\angle AQB = \angle FCB \cdots ⑤

である。

　$~\angle FCB~$は、$~\overset{\frown}{AB} – \overset{\frown}{AF}~$に対する円周角の大きさと等しいため、$~④,⑤~$より$~\angle AQB~$は$~\overset{\frown}{AB} – \overset{\frown}{CD}~$に対する円周角の大きさと等しくなる。$~\cdots ⑥~$

　$~③,⑥~$より、アルハゼンの定理は示された。$~~\blacksquare~$

　角の大きさを弧度法で表すものとする。

　上の図の直径1の円において、

\angle APB = \overset{\frown}{AB} + \overset{\frown}{CD}

と表せる。

　また、上の図の直径1の円において、

\angle AQB = \overset{\frown}{AB} - \overset{\frown}{CD}

と表せる。

　先の例題を、直径1の円で、弧度法で考えると次のようになる。