チェバの定理の3通りの証明

数学A平面図形数学A

チェバの定理を以下の3つの方法で証明します。
①教科書的な証明
②ベクトルを使った証明
③メネラウスの定理を使った証明


まずはチェバの定理とはどんな定理かを確認しておきます。

チェバの定理

右図で、次のような式が成り立つ。
\begin{equation}
\displaystyle \frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1
\end{equation}

証明

目次
  • 1. ①教科書的な証明
  • 2. ②ベクトルを使った証明
  • 3. ③メネラウスの定理を使った証明

①教科書的な証明

△APCと△BPCの面積比を考える。
\(~ \triangle APC : \triangle BPC = AF : BF ~\)であり、この式を分数の形にすると、
\begin{equation}
\displaystyle \frac{AF}{FB} = \frac{\triangle APC}{\triangle BPC}
\end{equation}
同様に
\begin{align*}
\displaystyle \frac{BD}{CD} = \frac{\triangle APB}{\triangle APC} & \ \ \ , \ \ \displaystyle \frac{CE}{EA} = \frac{\triangle BPC}{\triangle APB}
\end{align*}
となるため、

\begin{align*}
& \displaystyle \frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \\
\\
&=\frac{\triangle APC}{\triangle BPC} \cdot \frac{\triangle APB}{\triangle APC} \cdot \frac{\triangle BPC}{\triangle APB} \\
\\
\\
&= 1 (すべて約分される) \blacksquare\\
\end{align*}

面積比と線分比の関係を用いた一般的な証明。線分が多いため、どの三角形に注目すればよいのか混乱しそうです。

   


 

証明

②ベクトルを使った証明

チェバの定理用図形(ベクトル)
右図のように、長さを文字でおく。
今回示したいことは、
\begin{equation}
\displaystyle \frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1
\end{equation}
なので、この式を与えられた文字で置き換えると、
\begin{equation}
\displaystyle \frac{t}{1-t} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{1-s}{s} = 1
\end{equation}
となるため、
\begin{equation}
\displaystyle \frac{BD}{DC} = \frac{s(1-t)}{t(1-s)}
\end{equation}
を示せばよいことがわかる。

上の等式を証明するために、一次独立な2つのベクトル\( \overrightarrow{AB} \)と\(\overrightarrow{AC} \)を使う。
図の情報から、\( \overrightarrow{AF}=t \overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AE}=s \overrightarrow{AC} ~\)とおける。
\(~ \triangle ABE \)で、\( \overrightarrow{AP} \)をベクトルで表すと、
\begin{align*}
\overrightarrow{AP}&=u \overrightarrow{AB}+(1-u) \overrightarrow{AE} \\
&=u \overrightarrow{AB}+(1-u) s \overrightarrow{AC} \\
\end{align*}

同様に、\( \triangle AFC \)で、\( \overrightarrow{AP} \)をベクトルで表すと、
\begin{align*}
\overrightarrow{AP}&=(1-v) \overrightarrow{AF}+v \overrightarrow{AC} \\
&=(1-v) t \overrightarrow{AB}+v \overrightarrow{AC} \\
\end{align*}

この2つの等式を比較して、\( \overrightarrow{AB} \)と\(\overrightarrow{AC} \)は一次独立であることから、
\begin{equation}
u=(1-v)t \\
(1-u)s=v \\
\end{equation}
この連立方程式を\( u ~\)と\( v \)に関して解くと、
\begin{equation}
\displaystyle u=\frac{(1-s)t}{1-st} \\
\\
\displaystyle v=\frac{s(1-t)}{1-st} \\
\end{equation}

ここで導出した\( u \)を\( \overrightarrow{AP} \)の式に代入して、
\begin{align}
\displaystyle \overrightarrow{AP}&=\frac{(1-s)t}{1-st}\overrightarrow{AB}+\left(1-\frac{(1-s)t}{1-st} \right) s \overrightarrow{AC} \\
\\
&= \frac{(1-s)t}{1-st} \overrightarrow{AB}+\frac{(1-t)s}{1-st} \overrightarrow{AC} \\
\end{align}

ADとAPは同一直線上にあるため、\( k \)を定数として、次のように表せる。
\begin{align}
\displaystyle \overrightarrow{AD}&=k \overrightarrow{AP} \\
\\
&= \frac{(1-s)t}{1-st}k \overrightarrow{AB}+\frac{(1-t)s}{1-st}k \overrightarrow{AC} \\
\end{align}

この式より、\( \triangle ABC \)で、点Dは辺BCを\( \displaystyle BD:DC=\frac{(1-t)s}{1-st}k : \frac{(1-s)t}{1-st}k ~\) に内分することがわかる。

よって、証明したい式に話を戻すと、
\begin{align}
\displaystyle \frac{BD}{DC} &= \frac{\dfrac{(1-t)s}{1-st}k}{ \dfrac{(1-s)t}{1-st}k} \\
\\
&= \displaystyle \frac{s(1-t)}{t(1-s)} \\
\end{align}

以上で示したいことが示された。\( \blacksquare \)

1年後に学ぶはずの数学Bのベクトルを使った方法でした。使用する文字数が多く、文字式の計算でミスりそう!?

   


証明

③メネラウスの定理を使った証明

メネラウスの定理より、次の2式が成り立つ。

\begin{equation}
\displaystyle \frac{AF}{FB} \cdot \frac{BC}{CD} \cdot \frac{DP}{PA} = 1 \\
\\
\displaystyle \frac{AE}{EC} \cdot \frac{CB}{BD} \cdot \frac{DP}{PA} = 1
\end{equation}
上の式から下の式を両辺割ると、
\begin{align}
\displaystyle \frac{AF}{FB} \cdot \frac{BC}{CD} \cdot \frac{DP}{PA} \div \left( \frac{AE}{EC} \cdot \frac{CB}{BD} \cdot \frac{DP}{PA} \right) &= 1 \\
\\
\displaystyle \frac{AF}{FB} \cdot \frac{BC}{CD} \cdot \frac{DP}{PA} \times \frac{EC}{AE} \cdot \frac{BD}{CB} \cdot \frac{PA}{DP} &= 1 \\
\\
\displaystyle \frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{CD} \cdot \frac{EC}{AE} &= 1 \\
\end{align}

よって、チェバの定理が示された。\( \blacksquare \)


うん。エレガント。まさか兄弟分であるメネラウスの定理がチェバの定理の証明に使えるとは・・・(・□・)

   
 
 


☆参考文献
・マスオ(2016)『高校数学の美しい物語』,SB Creative.

数学A平面図形数学A

Posted by Fuku