難しい整数問題①


問題自体は単純なようで、奥が深い整数問題。その中でも難関大学の入試問題や数検1級、数学オリンピックで出てくるような、難しめの極限の問題を紹介します。
 
 


問題自体は単純なようで、奥が深い整数問題。その中でも難関大学の入試問題や数検1級、数学オリンピックで出てくるような、難しめの極限の問題を紹介します。


問題

\begin{equation}
2^a+3^b+1=6^c
\end{equation}
をみたす正の整数の組 $~(a,b,c)~$ をすべて求めよ。

 第24回(2014年)日本数学オリンピックの本選で出題された問題です。


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解答

\begin{equation}
(a,b,c)=(1,1,1),(3,3,2),(5,1,2)
\end{equation}

解法

① $~c=1~$ のとき
 
 問題の等式は
\begin{align}
2^a+3^b+1&=6 \\
2^a+3^b&=5
\end{align}
となる。これを満たす $~a,b~$ の組は $~(a,b)=(1,1)~$ のみであるため、 $~(a,b,c)=(1,1,1)~$ が求まった。
 
 
② $~c=2~$ のとき
 
 問題の等式は
\begin{align}
2^a+3^b+1&=36 \\
2^a+3^b&=35
\end{align}
となる。 $~b~$ の値を順々に代入していくと、
$~b=1~$ のとき、
\begin{align}
2^a+3&=35 \\
2^a&=32
\end{align}
よって、 $~a=5~$ が求まる。
 
$~b=2~$ のとき、
\begin{align}
2^a+9&=35 \\
2^a&=26
\end{align}
等式を満たす自然数 $~a~$ は存在しない。
 
$~b=3~$ のとき、
\begin{align}
2^a+27&=35 \\
2^a&=8
\end{align}
よって、 $~a=3~$ が求まる。
 
以上より、 $~(a,b,c)=(3,3,2),(5,1,2)~$ が求まった。
 
 
③ $~c \le 3~$ のとき
 
 問題の等式の右辺について、それぞれ8で割った余りを考えると、 $~6^c~$ は8の倍数である( $~\le 3~$ より)ため、右辺の余りは0である。これに対し、左辺のそれぞれの項について考える。
 
$~2^a~$ については、 $~a=1~$ のとき、8で割った余りは2。 $~a=2~$ のとき、8で割った余りは4。 $~a \le 3~$ のとき、8で割った余りは0とわかる。
 
$~3^b~$ については、 $~b=1~$ のとき、8で割った余りは3。 $~b=2~$ のとき、8で割った余りは1。 $~b=3~$ のとき、8で割った余りは3。 $~b=4~$ のとき、8で割った余りは1。
以上より、 $~3^b~$ を8で割った余りは1か3とわかる。(厳密には数学的帰納法で証明)
 
$~1~$ については、8で割ったときの余りは1である。
 
これらの結果より、 $~(左辺)=2^a+3^b+1~$ を8で割った時、 $~a=2~$ 、 $~b~$ が奇数の場合に限り余りが0となる。
 
 
④ $~a=2~$ の存在の確認
 
 で登場した $~a=2~$ について考える。このとき、問題の等式は
\begin{align}
4+3^b+1&=6^c \\
3^b+5&=6^c \\
\end{align}
となる。この等式の両辺を3で割ることを考えると、左辺の余りは2。右辺の余りは0となる。
 
よって、 $~a=2~$ のとき、等式は成立しない。
 
 
⑤解のまとめ
 ③、④より、 $~c \le 3~$ のときに解は存在しないので、 ①、②の結果をまとめて、
\begin{equation}
(a,b,c)=(1,1,1),(3,3,2),(5,1,2)
\end{equation}
の3組のみが解となる。 $~\blacksquare~$

等式では、両辺同じ数で割ったところで商も余りも同じになります。その性質をうまく利用した問題でした。


$~mod2~$ 、 $~mod3~$ 、 $~mod6~$ ならともかく、 $~mod8~$ が有用とは・・・。さすが数学オリンピックです。

   
 
 

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☆参考文献
・向井湘吾(2017)『産額タイムトンネル』,pp.214-224,講談社タイガ
・「数学オリンピック財団 国内大会・国際大会の問題」,<http://www.imojp.org/challenge/index.html> 2018年9月16日アクセス

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