難しい積分①

(1)置換積分を使って計算していく
\(~x=a\sin{\theta}~\) と置換し、 \(~\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=a\cos{\theta}~\) を利用して計算していくと、
\begin{align}
\displaystyle & \int \sqrt{a^2-x^2}dx \\
\\
&=\int \sqrt{a^2-(a \sin{\theta})^2}\cdot a\cos{\theta} d\theta \\
\\
&=\int \sqrt{a^2-a^2 \sin^2{\theta}}\cdot a\cos{\theta} d\theta \\
\\
&=\int \sqrt{a^2(1-\sin^2{\theta})}\cdot a\cos{\theta} d\theta \\
\\
&=\int \sqrt{a^2 \cos^2{\theta}}\cdot a\cos{\theta} d\theta \\
\\
&=\int a \cos{\theta}\cdot a\cos{\theta} d\theta \\
\\
&=a^2　\int \cos^2{\theta} d\theta \\
\end{align}
(2)半角の公式や２倍角の公式を利用して変形する。
\begin{equation}
半角の公式：\displaystyle \cos^2{\frac{\alpha}{2}}=\frac{1+\cos{\alpha}}{2}
\end{equation}
この公式で\( \alpha=2\theta~\) を代入すると、

\(~\displaystyle \cos^2{\theta}=\frac{1+\cos{2\theta}}{2}~\) となるため、これを(1)に使う。

\begin{align}
(与式)&=\displaystyle a^2 \int \frac{1+\cos{2\theta}}{2} d\theta \\
\\
&=\displaystyle \frac{a^2}{2} \int 1+\cos{2\theta}d\theta \\
\\
&=\displaystyle \frac{a^2}{2} \left( \theta +\frac{\sin{2\theta}}{2} \right) \\
\end{align}
ここで、２倍角の公式を使うと、
\begin{align}
(与式)&=\displaystyle \frac{a^2}{2} \left( \theta +\frac{2\sin{\theta}\cos{\theta}}{2} \right) \\
\\
&=\displaystyle \frac{a^2}{2} ( \theta +\sin{\theta}\cos{\theta} ) \\
\end{align}
(3) \(~\theta~\) を \(~x~\) の式にもどす。
(1)で、 \(~x=a\sin{\theta}~\) としたため、次の式が成り立つ。
\begin{align}
\displaystyle \sin{\theta}&=\frac{x}{a} \\
\\
\cos{\theta}&=\sqrt{1-\sin^2{\theta}} \\
\\
&=\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} \\
\\
&=\sqrt{\frac{a^2-x^2}{a^2}} \\
\\
&=\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}
\end{align}
また、 \(~\displaystyle \theta=\sin^{-1}{\frac{x}{a}}~\) より、これらを(2)に代入して、
\begin{align}
(与式)&=\displaystyle \frac{a^2}{2} \left( \sin^{-1}{\frac{x}{a}} +\frac{x}{a}\cdot \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a} \right) \\
\\
&=\frac{1}{2} \left(a^2 \sin^{-1}{\frac{x}{a}}+ x \sqrt{a^2-x^2}\right) \\
\\
&=\frac{1}{2} \left( x \sqrt{a^2-x^2}+ a^2 \sin^{-1}{\frac{x}{a}}\right)
\end{align}
ということで答えが求まった。(積分定数 \(~C~\) は省略）

(1)部分積分を使って計算していく

\begin{align}
\displaystyle & \int \sqrt{a^2-x^2}dx \\
\\
&=\int (x)’ \sqrt{a^2-x^2}dx \\
\\
&= x \sqrt{a^2-x^2}-\int x \cdot \frac{1}{2}\cdot(a^2-x^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-x^2)’ dx \\
\\
&= x \sqrt{a^2-x^2}-\int x \cdot \frac{1}{2}\cdot (-2x)\cdot (a^2-x^2)^{-\frac{1}{2}} dx \\
\\
&= x \sqrt{a^2-x^2}-\int \frac{-x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx \\
\end{align}
(2)分子に \(~a^2~\) と \(~-a^2~\) を加え、分数を分解する。
\begin{align}
(与式)&= x \sqrt{a^2-x^2}-\int \frac{(a^2-x^2)-a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx \\
\\
&=x \sqrt{a^2-x^2}-\int \left( \frac{a^2-x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}-\frac{a^2}{\sqrt{a^2-x^2}} \right) dx \\
\\
&=x \sqrt{a^2-x^2}-\int \frac{a^2-x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx+ \int \frac{a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx \\
\\
&=x \sqrt{a^2-x^2}-\int \sqrt{a^2-x^2}dx+ a^2\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx \\
\end{align}
(3) \(~\displaystyle \int \sqrt{a^2-x^2}dx~\) について解く。
(2)までの計算結果をまとめていくと、
\begin{align}
\displaystyle \int \sqrt{a^2-x^2}dx &=x \sqrt{a^2-x^2}-\int \sqrt{a^2-x^2}dx+ a^2\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx \\
\\
2\int \sqrt{a^2-x^2}dx &=x \sqrt{a^2-x^2}+ a^2\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx \\
\\
\int \sqrt{a^2-x^2}dx &=\frac{1}{2} \left( x \sqrt{a^2-x^2}+ a^2\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx \right) \\
\end{align}
(4)右辺の積分の計算をする。
\(~x=a\sin{\theta}~\) と置換し、 \(~\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=a\cos{\theta}~\) を利用して計算していくと、
\begin{align}
\displaystyle & \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx \\
\\
&=\int \frac{1}{\sqrt{a^2-(a \sin{\theta})^2}}\cdot a\cos{\theta}d\theta \\
\\
&=\int \frac{1}{\sqrt{a^2-a^2 \sin^2{\theta}}}\cdot a\cos{\theta}d\theta \\
\\
&=\int \frac{1}{\sqrt{a^2(1-\sin^2{\theta})}}\cdot a\cos{\theta}d\theta \\
\\
&=\int \frac{1}{\sqrt{a^2 \cos^2{\theta}}}\cdot a\cos{\theta}d\theta \\
\\
&=\int \frac{1}{a \cos{\theta}}\cdot a\cos{\theta}d\theta \\
\\
&=\int d\theta \\
\\
&=\theta (※積分定数は省略)
\end{align}
ここで \(~\theta~\) を求めると、
\begin{align}
x&=a\sin{\theta} \\
\\
\displaystyle \frac{x}{a}&=\sin{\theta} \\
\\
\displaystyle \theta&=\sin^{-1}{\frac{x}{a}} \\
\end{align}
となるため、
\begin{equation}
\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\sin^{-1}{\frac{x}{a}}
\end{equation}
(5)　(3)の式に(4)の結果を代入する。
\begin{equation}
\int \sqrt{a^2-x^2}dx =\frac{1}{2} \left( x \sqrt{a^2-x^2}+ a^2 \sin^{-1}{\frac{x}{a}}\right)
\end{equation}
ということで、答えが求まった。(積分定数 \(~C~\) は省略）

\begin{align}
\displaystyle & \int \sqrt{a^2-x^2}dx \\
\\
&=\int (x)’ \sqrt{a^2-x^2}dx \\
\\
&= x \sqrt{a^2-x^2} \\
&-\int x \cdot \frac{1}{2}\cdot(a^2-x^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-x^2)’ dx \\
\\
&= x \sqrt{a^2-x^2} \\
&-\int x \cdot \frac{1}{2}\cdot (-2x)\cdot (a^2-x^2)^{-\frac{1}{2}} dx \\
\\
&= x \sqrt{a^2-x^2}-\int \frac{-x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx \\
\end{align}
(2)分子に \(~a^2~\) と \(~-a^2~\) を加え、分数を分解する。
\begin{align}
&(与式) \\
\\
&= x \sqrt{a^2-x^2}-\int \frac{(a^2-x^2)-a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx \\
\\
&=x \sqrt{a^2-x^2} \\
&-\int \left( \frac{a^2-x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}-\frac{a^2}{\sqrt{a^2-x^2}} \right) dx \\
\\
&=x \sqrt{a^2-x^2} -\int \frac{a^2-x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx \\
&+ \int \frac{a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx \\
\\
&=x \sqrt{a^2-x^2}-\int \sqrt{a^2-x^2}dx \\
&+ a^2\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx \\
\end{align}
(3) \(~\displaystyle \int \sqrt{a^2-x^2}dx~\) について解く。
(2)までの計算結果をまとめていくと、
\begin{multline}
\displaystyle \int \sqrt{a^2-x^2}dx =x \sqrt{a^2-x^2} \\
-\int \sqrt{a^2-x^2}dx+ a^2\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx
\end{multline}
\begin{multline}
\displaystyle 2\int \sqrt{a^2-x^2}dx =x \sqrt{a^2-x^2} \\
+ a^2\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx
\end{multline}
\begin{multline}
\displaystyle \int \sqrt{a^2-x^2}dx \\
=\frac{1}{2} \left( x \sqrt{a^2-x^2}+ a^2\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx \right)
\end{multline}
(4)右辺の積分の計算をする。
\(~x=a\sin{\theta}~\) と置換し、 \(~\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=a\cos{\theta}~\) を利用して計算していくと、
\begin{align}
\displaystyle & \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx \\
\\
&=\int \frac{1}{\sqrt{a^2-(a \sin{\theta})^2}}\cdot a\cos{\theta}d\theta \\
\\
&=\int \frac{1}{\sqrt{a^2-a^2 \sin^2{\theta}}}\cdot a\cos{\theta}d\theta \\
\\
&=\int \frac{1}{\sqrt{a^2(1-\sin^2{\theta})}}\cdot a\cos{\theta}d\theta \\
\\
&=\int \frac{1}{\sqrt{a^2 \cos^2{\theta}}}\cdot a\cos{\theta}d\theta \\
\\
&=\int \frac{1}{a \cos{\theta}}\cdot a\cos{\theta}d\theta \\
\\
&=\int d\theta \\
\\
&=\theta (※積分定数は省略)
\end{align}
ここで \(~\theta~\) を求めると、
\begin{align}
x&=a\sin{\theta} \\
\\
\displaystyle \frac{x}{a}&=\sin{\theta} \\
\\
\displaystyle \theta&=\sin^{-1}{\frac{x}{a}} \\
\end{align}
となるため、
\begin{equation}
\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\sin^{-1}{\frac{x}{a}}
\end{equation}
(5)　(3)の式に(4)の結果を代入する。
\begin{multline}
\int \sqrt{a^2-x^2}dx \\
=\frac{1}{2} \left( x \sqrt{a^2-x^2}+ a^2 \sin^{-1}{\frac{x}{a}}\right)
\end{multline}
ということで、答えが求まった。(積分定数 \(~C~\) は省略）