難しい積分①
微分と異なり、機械的な計算だけでなく発想力も求められる積分。その中でも難関大学の入試問題や数検１級で出てくるような、難しめの積分の問題を紹介します。
微分と異なり、機械的な計算だけでなく発想力も求められる積分。その中でも難関大学の入試問題や数検１級で出てくるような、難しめの積分の問題を紹介します。
次の不定積分を求めよ。
\begin{equation}
\int \sqrt{a^2-x^2}dx
\end{equation}
一見すると、簡単そうに見えますが・・・・。解説を見る前に考えてみましょう。
解法は２通り用意しています。
解答はこちら
\begin{equation}
\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2} \left( x \sqrt{a^2-x^2}+ a^2 \sin^{-1}{\frac{x}{a}}\right)
\end{equation}
\begin{align}
&\int \sqrt{a^2-x^2}dx \\
\\
&=\frac{1}{2} \left( x \sqrt{a^2-x^2}+ a^2 \sin^{-1}{\frac{x}{a}}\right)
\end{align}
ただし、積分定数 \(~C~\) は省略している。
では、２つの解法を順々に見てみましょう。
まずは、この積分の形を見てやりたくなる置換積分から攻めていく方法です。
(1)置換積分を使って計算していく
\(~x=a\sin{\theta}~\) と置換し、 \(~\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=a\cos{\theta}~\) を利用して計算していくと、
\begin{align}
\displaystyle & \int \sqrt{a^2-x^2}dx \\
\\
&=\int \sqrt{a^2-(a \sin{\theta})^2}\cdot a\cos{\theta} d\theta \\
\\
&=\int \sqrt{a^2-a^2 \sin^2{\theta}}\cdot a\cos{\theta} d\theta \\
\\
&=\int \sqrt{a^2(1-\sin^2{\theta})}\cdot a\cos{\theta} d\theta \\
\\
&=\int \sqrt{a^2 \cos^2{\theta}}\cdot a\cos{\theta} d\theta \\
\\
&=\int a \cos{\theta}\cdot a\cos{\theta} d\theta \\
\\
&=a^2 \int \cos^2{\theta} d\theta \\
\end{align}
(2)半角の公式や２倍角の公式を利用して変形する。
\begin{equation}
半角の公式：\displaystyle \cos^2{\frac{\alpha}{2}}=\frac{1+\cos{\alpha}}{2}
\end{equation}
この公式で\( \alpha=2\theta~\) を代入すると、
\(~\displaystyle \cos^2{\theta}=\frac{1+\cos{2\theta}}{2}~\) となるため、これを(1)に使う。
\begin{align}
(与式)&=\displaystyle a^2 \int \frac{1+\cos{2\theta}}{2} d\theta \\
\\
&=\displaystyle \frac{a^2}{2} \int 1+\cos{2\theta}d\theta \\
\\
&=\displaystyle \frac{a^2}{2} \left( \theta +\frac{\sin{2\theta}}{2} \right) \\
\end{align}
ここで、２倍角の公式を使うと、
\begin{align}
(与式)&=\displaystyle \frac{a^2}{2} \left( \theta +\frac{2\sin{\theta}\cos{\theta}}{2} \right) \\
\\
&=\displaystyle \frac{a^2}{2} ( \theta +\sin{\theta}\cos{\theta} ) \\
\end{align}
(3) \(~\theta~\) を \(~x~\) の式にもどす。
(1)で、 \(~x=a\sin{\theta}~\) としたため、次の式が成り立つ。
\begin{align}
\displaystyle \sin{\theta}&=\frac{x}{a} \\
\\
\cos{\theta}&=\sqrt{1-\sin^2{\theta}} \\
\\
&=\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} \\
\\
&=\sqrt{\frac{a^2-x^2}{a^2}} \\
\\
&=\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}
\end{align}
また、 \(~\displaystyle \theta=\sin^{-1}{\frac{x}{a}}~\) より、これらを(2)に代入して、
\begin{align}
(与式)&=\displaystyle \frac{a^2}{2} \left( \sin^{-1}{\frac{x}{a}} +\frac{x}{a}\cdot \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a} \right) \\
\\
&=\frac{1}{2} \left(a^2 \sin^{-1}{\frac{x}{a}}+ x \sqrt{a^2-x^2}\right) \\
\\
&=\frac{1}{2} \left( x \sqrt{a^2-x^2}+ a^2 \sin^{-1}{\frac{x}{a}}\right)
\end{align}
ということで答えが求まった。(積分定数 \(~C~\) は省略）
最後のほうが少し厄介ですね・・・。
もう１つの方法。なんと、\( \displaystyle \int \log{x}dx \)のように部分積分から始めていく方法です。
(1)部分積分を使って計算していく
\begin{align}
\displaystyle & \int \sqrt{a^2-x^2}dx \\
\\
&=\int (x)’ \sqrt{a^2-x^2}dx \\
\\
&= x \sqrt{a^2-x^2}-\int x \cdot \frac{1}{2}\cdot(a^2-x^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-x^2)’ dx \\
\\
&= x \sqrt{a^2-x^2}-\int x \cdot \frac{1}{2}\cdot (-2x)\cdot (a^2-x^2)^{-\frac{1}{2}} dx \\
\\
&= x \sqrt{a^2-x^2}-\int \frac{-x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx \\
\end{align}
(2)分子に \(~a^2~\) と \(~-a^2~\) を加え、分数を分解する。
\begin{align}
(与式)&= x \sqrt{a^2-x^2}-\int \frac{(a^2-x^2)-a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx \\
\\
&=x \sqrt{a^2-x^2}-\int \left( \frac{a^2-x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}-\frac{a^2}{\sqrt{a^2-x^2}} \right) dx \\
\\
&=x \sqrt{a^2-x^2}-\int \frac{a^2-x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx+ \int \frac{a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx \\
\\
&=x \sqrt{a^2-x^2}-\int \sqrt{a^2-x^2}dx+ a^2\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx \\
\end{align}
(3) \(~\displaystyle \int \sqrt{a^2-x^2}dx~\) について解く。
(2)までの計算結果をまとめていくと、
\begin{align}
\displaystyle \int \sqrt{a^2-x^2}dx &=x \sqrt{a^2-x^2}-\int \sqrt{a^2-x^2}dx+ a^2\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx \\
\\
2\int \sqrt{a^2-x^2}dx &=x \sqrt{a^2-x^2}+ a^2\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx \\
\\
\int \sqrt{a^2-x^2}dx &=\frac{1}{2} \left( x \sqrt{a^2-x^2}+ a^2\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx \right) \\
\end{align}
(4)右辺の積分の計算をする。
\(~x=a\sin{\theta}~\) と置換し、 \(~\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=a\cos{\theta}~\) を利用して計算していくと、
\begin{align}
\displaystyle & \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx \\
\\
&=\int \frac{1}{\sqrt{a^2-(a \sin{\theta})^2}}\cdot a\cos{\theta}d\theta \\
\\
&=\int \frac{1}{\sqrt{a^2-a^2 \sin^2{\theta}}}\cdot a\cos{\theta}d\theta \\
\\
&=\int \frac{1}{\sqrt{a^2(1-\sin^2{\theta})}}\cdot a\cos{\theta}d\theta \\
\\
&=\int \frac{1}{\sqrt{a^2 \cos^2{\theta}}}\cdot a\cos{\theta}d\theta \\
\\
&=\int \frac{1}{a \cos{\theta}}\cdot a\cos{\theta}d\theta \\
\\
&=\int d\theta \\
\\
&=\theta (※積分定数は省略)
\end{align}
ここで \(~\theta~\) を求めると、
\begin{align}
x&=a\sin{\theta} \\
\\
\displaystyle \frac{x}{a}&=\sin{\theta} \\
\\
\displaystyle \theta&=\sin^{-1}{\frac{x}{a}} \\
\end{align}
となるため、
\begin{equation}
\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\sin^{-1}{\frac{x}{a}}
\end{equation}
(5) (3)の式に(4)の結果を代入する。
\begin{equation}
\int \sqrt{a^2-x^2}dx =\frac{1}{2} \left( x \sqrt{a^2-x^2}+ a^2 \sin^{-1}{\frac{x}{a}}\right)
\end{equation}
ということで、答えが求まった。(積分定数 \(~C~\) は省略）
\begin{align}
\displaystyle & \int \sqrt{a^2-x^2}dx \\
\\
&=\int (x)’ \sqrt{a^2-x^2}dx \\
\\
&= x \sqrt{a^2-x^2} \\
&-\int x \cdot \frac{1}{2}\cdot(a^2-x^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-x^2)’ dx \\
\\
&= x \sqrt{a^2-x^2} \\
&-\int x \cdot \frac{1}{2}\cdot (-2x)\cdot (a^2-x^2)^{-\frac{1}{2}} dx \\
\\
&= x \sqrt{a^2-x^2}-\int \frac{-x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx \\
\end{align}
(2)分子に \(~a^2~\) と \(~-a^2~\) を加え、分数を分解する。
\begin{align}
&(与式) \\
\\
&= x \sqrt{a^2-x^2}-\int \frac{(a^2-x^2)-a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx \\
\\
&=x \sqrt{a^2-x^2} \\
&-\int \left( \frac{a^2-x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}-\frac{a^2}{\sqrt{a^2-x^2}} \right) dx \\
\\
&=x \sqrt{a^2-x^2} -\int \frac{a^2-x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx \\
&+ \int \frac{a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx \\
\\
&=x \sqrt{a^2-x^2}-\int \sqrt{a^2-x^2}dx \\
&+ a^2\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx \\
\end{align}
(3) \(~\displaystyle \int \sqrt{a^2-x^2}dx~\) について解く。
(2)までの計算結果をまとめていくと、
\begin{multline}
\displaystyle \int \sqrt{a^2-x^2}dx =x \sqrt{a^2-x^2} \\
-\int \sqrt{a^2-x^2}dx+ a^2\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx
\end{multline}
\begin{multline}
\displaystyle 2\int \sqrt{a^2-x^2}dx =x \sqrt{a^2-x^2} \\
+ a^2\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx
\end{multline}
\begin{multline}
\displaystyle \int \sqrt{a^2-x^2}dx \\
=\frac{1}{2} \left( x \sqrt{a^2-x^2}+ a^2\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx \right)
\end{multline}
(4)右辺の積分の計算をする。
\(~x=a\sin{\theta}~\) と置換し、 \(~\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=a\cos{\theta}~\) を利用して計算していくと、
\begin{align}
\displaystyle & \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx \\
\\
&=\int \frac{1}{\sqrt{a^2-(a \sin{\theta})^2}}\cdot a\cos{\theta}d\theta \\
\\
&=\int \frac{1}{\sqrt{a^2-a^2 \sin^2{\theta}}}\cdot a\cos{\theta}d\theta \\
\\
&=\int \frac{1}{\sqrt{a^2(1-\sin^2{\theta})}}\cdot a\cos{\theta}d\theta \\
\\
&=\int \frac{1}{\sqrt{a^2 \cos^2{\theta}}}\cdot a\cos{\theta}d\theta \\
\\
&=\int \frac{1}{a \cos{\theta}}\cdot a\cos{\theta}d\theta \\
\\
&=\int d\theta \\
\\
&=\theta (※積分定数は省略)
\end{align}
ここで \(~\theta~\) を求めると、
\begin{align}
x&=a\sin{\theta} \\
\\
\displaystyle \frac{x}{a}&=\sin{\theta} \\
\\
\displaystyle \theta&=\sin^{-1}{\frac{x}{a}} \\
\end{align}
となるため、
\begin{equation}
\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\sin^{-1}{\frac{x}{a}}
\end{equation}
(5) (3)の式に(4)の結果を代入する。
\begin{multline}
\int \sqrt{a^2-x^2}dx \\
=\frac{1}{2} \left( x \sqrt{a^2-x^2}+ a^2 \sin^{-1}{\frac{x}{a}}\right)
\end{multline}
ということで、答えが求まった。(積分定数 \(~C~\) は省略）
不定積分だったので、逆三角関数を使うことになりましたが、定積分であれば大学入試にも出題できる問題になります。（・□・）
☆参考文献等
・中村力（2016）『数学検定１級準拠テキスト 微分積分』,pp50-51,森北出版.
難しい積分シリーズとして、管理人Fukusukeが数学の勉強をしていく中で出会った難しめの積分について、今後もまとめていきます。どちらの方法にしても、計算量がすごいですね・・・。