ディオファントスの墓

　ディオファントスは一生の$~\displaystyle \frac{1}{6}~$を少年として、さらに一生の$~\displaystyle \frac{1}{12}~$を青年として過ごした。その後一生の$~\displaystyle \frac{1}{7}~$を過ぎて結婚し、$~5~$年後に息子ができた。その子は父の半分しか生きられず、ディオファントスより$~4~$年早く亡くなった。

　ディオファントスは何歳のときに亡くなったか求めなさい。

　ディオファントスの享年を$~x~$歳とする。
　このとき、文中の表現をそれぞれ$~x~$を使って表すと、

\begin{align*}
少年時代&\cdots ~\frac{1}{6}x~年  \\
青年時代&\cdots ~\frac{1}{12}x~年 \\
結婚まで&\cdots ~\frac{1}{7}x~年 \\
結婚から息子誕生まで&\cdots ~5~年 \\
息子と生きた期間&\cdots~\frac{1}{2}x~年 \\
息子の死から自身の死まで&\cdots ~4~年 \\
\end{align*}

となり、これらの和がディオファントスの享年となるため、

\frac{1}{6}x+\frac{1}{12}x+\frac{1}{7}x+5+\frac{1}{2}x+4=x

という方程式ができる。

　両辺を$~84~$倍することで、

\begin{align*}
14x+7x+12x+420+42x+336&=84x \\
-9x&=-756 \\
x&=84 
\end{align*}

が求まるため、ディオファントスの享年は84であることがわかった。

少年時代や青年時代などの各期間は、整数年で表されるのが一般的である。

そのため、それぞれの期間が整数であるためには、ディオファントスの享年が$~6~$と$~12~$と$~7~$と$~2~$の公倍数、つまり$~84~$の倍数でなければならない。
 
しかし、人間の寿命は多く見積もっても120歳ほどである。
 
よって、彼の享年は84歳である。