除法を乗法にできる理由

余りを考えない割り算においては、割り算を分数で表すことができる。
\begin{equation}
\displaystyle \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} =\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}
\end{equation}
ここで、分母を \(~1~\) にするため、分母と分子に \(~\displaystyle \frac{d}{c}~\) をかけると、
\begin{align}
\displaystyle \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}&=\frac{\frac{a}{b} \times \frac{d}{c}}{\frac{c}{d} \times \frac{d}{c}} \\
\\
&=\frac{\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}}{1} \\
\\
&=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}
\end{align}
以上より、題意は示された。 \(~\blacksquare~\)

割り算では、 \(~6 \div 3=12 \div 6=2~\) のように、割られる数と割る数に同じ数をかけても商は同じになる。
そこで、次の計算を考える。
\begin{equation}
\displaystyle \frac{3}{4} \div \frac{2}{5}
\end{equation}
割られる数と割る数に\( \displaystyle \frac{5}{2}~\) をかけて計算すると、
\begin{align}
\displaystyle \frac{3}{4} \div \frac{2}{5} &= \left( \frac{3}{4} \times \frac{5}{2} \right) \div \left( \frac{2}{5} \times \frac{5}{2} \right) \\
\\
&=\left( \frac{3}{4} \times \frac{5}{2} \right) \div 1 \\
\\
&=\frac{3}{4} \times \frac{5}{2}
\end{align}
以上より、分数の割り算は逆数をかけることで表される。 \(~\blacksquare~\)