除法を乗法にできる理由

算数式と計算算数

逆数を使えば、割り算を掛け算に直すことができます。それがなぜ成り立つのかを文字式で証明します。
Ⅰ 逆数と除法
Ⅱ 除法を乗法に直せる理由


目次
  • 1. Ⅰ 逆数と除法
  • 2. Ⅱ 除法を乗法に直せる理由

Ⅰ 逆数と除法

はじめに、除法では欠かすことのできない「逆数」について確認しておきます。

逆数の定義

ある数 \(~a~\) に対して、 \(~\displaystyle \frac{1}{a}~\) を \(~a~\) の逆数という。

また、文字式を習っていない小学生や中1の最初では、次のような説明が教科書に書かれています。

逆数

 2つの数の積が 1 となるとき、一方の数を他方の数の逆数という。

 この説明だと、数学が苦手な子には難しいので、教える際は

分母と分子を入れ替えた数

 
という説明もありでしょう。
 
逆数の例もいくつか挙げておきます。

逆数の例

・ \(~\displaystyle \frac{2}{3}~\) の逆数は \(~\displaystyle \frac{3}{2}~\)

・ \(~\displaystyle 5~\) の逆数は \(~\displaystyle \frac{1}{5} ~\)

・ \(~\displaystyle -\frac{1}{4}~\) の逆数は \(~-4 ~\)

・ \(~\displaystyle 1~\) の逆数は \(~1 ~\)

・ \(~\displaystyle -1~\) の逆数は \(~-1~\)
 
ただし、0の逆数は存在しないので注意。

ということで、符号はそのままで分母と分子を逆にすれば逆数は求まります。
 
この逆数によって、次のような(分数)÷(分数)の計算が可能になりました。

\begin{align}
\displaystyle \frac{3}{4} \div \frac{2}{5}&=\frac{3}{4} \times \frac{5}{2} \\
\\
&=\frac{15}{8}
\end{align}

分数の割り算は、逆数を使ってかけ算にするという作業は誰にでも経験があるはず。なぜこれが成り立つのかを次章で考えてみましょう。


Ⅱ 除法を乗法に直せる理由

では、本題です。ここで示したいのは次の等式です。

命題

\(~b \neq 0,c \neq 0,d \neq 0~\) とする。
\begin{equation}
\displaystyle \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} =\frac{a}{b} \times \frac{d}{c}
\end{equation}

では、証明していきましょう。

証明1

余りを考えない割り算においては、割り算を分数で表すことができる。
\begin{equation}
\displaystyle \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} =\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}
\end{equation}
ここで、分母を \(~1~\) にするため、分母と分子に \(~\displaystyle \frac{d}{c}~\) をかけると、
\begin{align}
\displaystyle \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}&=\frac{\frac{a}{b} \times \frac{d}{c}}{\frac{c}{d} \times \frac{d}{c}} \\
\\
&=\frac{\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}}{1} \\
\\
&=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}
\end{align}
以上より、題意は示された。 \(~\blacksquare~\)

文字式を使えば、簡単に解決することができました。


小学生や中1にこの証明は難しいので、別の説明方法を考えないといけません・・・。

   


※追記(2018.5.4)
しなさんより、小学生でも理解ができるような説明をいただきました。

証明2

割り算では、 \(~6 \div 3=12 \div 6=2~\) のように、割られる数と割る数に同じ数をかけても商は同じになる。
そこで、次の計算を考える。
\begin{equation}
\displaystyle \frac{3}{4} \div \frac{2}{5}
\end{equation}
割られる数と割る数に\( \displaystyle \frac{5}{2}~\) をかけて計算すると、
\begin{align}
\displaystyle \frac{3}{4} \div \frac{2}{5} &= \left( \frac{3}{4} \times \frac{5}{2} \right) \div \left( \frac{2}{5} \times \frac{5}{2} \right) \\
\\
&=\left( \frac{3}{4} \times \frac{5}{2} \right) \div 1 \\
\\
&=\frac{3}{4} \times \frac{5}{2}
\end{align}
以上より、分数の割り算は逆数をかけることで表される。 \(~\blacksquare~\)


しなさん、ありがとうございます。小学生や中1相手に説明するなら、 \(~\displaystyle \frac{分数}{分数}~\) よりもこちらの説明のほうが理解させられそうです!!

   
 
 

算数式と計算算数

Posted by Fuku