分母の有理化を簡単に行う技
\(~\sqrt{~~}~\)の計算では、分母に\(~\sqrt{~~}~\)が出てくると、有理化という式変形を行います。その有理化を簡単にできる方法を紹介します。
Ⅰ 一般的な有理化の方法
Ⅱ 有理化を簡単に行う技
Ⅲ 練習問題
Ⅰ 一般的な有理化の方法
まずは学校で習う一般的な有理化の方法を確認しておきましょう。
\begin{align}
(1)~~~ \frac{3}{\sqrt{3}}&=\frac{3 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} \\
\\
&=\frac{3 \sqrt{3}}{3} \\
\\
&=\sqrt{3}
\end{align}
\begin{align}
(2)~~~ \frac{20}{\sqrt{32}}&=\frac{20}{4\sqrt{2}} \\
\\
&=\frac{20 \times \sqrt{2}}{4\sqrt{2} \times \sqrt{2}} \\
\\
&=\frac{20 \sqrt{2}}{4 \times 2} \\
\\
&=\frac{5 \sqrt{2}}{2}
\end{align}
分母の有理化の一般的な方法は、
分母の\(~\sqrt{~~}~\)と同じ数を、分母・分子両方にかける
というものでした。
しかし、この２題のようなパターンに関して、もっと簡単に有理化する方法があるんです！！
次章で紹介します↓
Ⅱ 有理化を簡単に行う技
ということで、まずは一般化した式から。
\(~\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a}}~\)の分母の有理化は、
\begin{equation}
\frac{a}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}\times \sqrt{a}}{\sqrt{a}}=\sqrt{a}
\end{equation}
で行える。
この式だけだと、良さがあまり伝わってこないかもしれませんが、先ほどの例に適用してあげるとその差がわかるかと思います。
\begin{align}
(1)~~~ \frac{3}{\sqrt{3}}&=\frac{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\
\\
&=\sqrt{3}
\end{align}
\begin{align}
(2)~~~ \frac{20}{\sqrt{32}}&=\frac{20}{4\sqrt{2}} \\
\\
&=\frac{10 \times \sqrt{2} \times \sqrt{2}}{4\sqrt{2}} \\
\\
&=\frac{5 \sqrt{2}}{2}
\end{align}
いかがでしょう？ 難しいことをしているわけではありません。
\(~a~\)は、\(~\sqrt{a}~\)を２回かけたものなので、分子を\(~a=\sqrt{a} \times \sqrt{a}~\)と変形してあげることで、分母の\(~\sqrt{a}~\)と約分ができます。
この方法だと、(1)程度の有理化なら頭の中でもできそうですね。
(2)では、分子を\(~20=10 \times 2~\)としてあげることで、\(~\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2}}~\)の形が出てきます。
途中式を１行ほど節約できるのも時間短縮につながります。
せっかくなので、もう少し適用例を挙げておきます。
\begin{align}
(3)~~~ \frac{6}{\sqrt{2}}&=\frac{3 \times \sqrt{2}\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\
\\
&=3\sqrt{2}
\end{align}
\begin{align}
(4)~~~ \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{20}}&=\frac{5\sqrt{2}}{2\sqrt{5}} \\
\\
&=\frac{\sqrt{5} \times \sqrt{5} \times \sqrt{2}}{2\sqrt{5}} \\
\\
&=\frac{\sqrt{10}}{2}
\end{align}
\begin{align}
(5)~~~ \frac{8}{3\sqrt{8}}&=\frac{8}{3 \times 2\sqrt{2}} \\
\\
&=\frac{4 \times \sqrt{2} \times \sqrt{2}}{6\sqrt{2}} \\
\\
&=\frac{2 \sqrt{2}}{3}
\end{align}
コツを掴めてきましたか？
ちなみにですが、(5)に関してはこんな方法も。
\begin{align}
(5)~~~ \frac{8}{3\sqrt{8}}&=\frac{\sqrt{8}\times \sqrt{8}}{3 \sqrt{8}} \\
\\
&=\frac{\sqrt{8}}{3} \\
\\
&=\frac{2 \sqrt{2}}{3}
\end{align}
ただし、\(~\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}~\)や\(~\displaystyle \frac{3}{\sqrt{6}}~\)のように、\(~\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a}}~\)の形が現れない形には使えません。
通常の方法で有理化しましょう。
Ⅲ 練習問題
せっかくなので、練習問題を用意しました。
通常の方法でしか、有理化できない問題も混ぜていますので、\(~\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a}}~\)の形があるかどうかを見極めつつ、今回の技を使ってみてください。
次の数の分母を有理化しなさい。
(1)\(~~~\displaystyle \frac{5}{\sqrt{5}}\)
(2)\(~~~\displaystyle \frac{3}{2\sqrt{3}}\)
(3)\(~~~\displaystyle \frac{4}{\sqrt{18}}\)
(4)\(~~~\displaystyle \frac{2}{\sqrt{6}}\)
(5)\(~~~\displaystyle \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{40}}\)
以上、有理化を楽に、速く行う方法でした。是非使ってみてください。
分数を見た瞬間、この技が使えるかどうかを判断できるかが鍵！