分母の有理化を簡単に行う技

中3数学式と計算中3数学

 \(~\sqrt{~~}~\)の計算では、分母に\(~\sqrt{~~}~\)が出てくると、有理化という式変形を行います。その有理化を簡単にできる方法を紹介します。
Ⅰ 一般的な有理化の方法
Ⅱ 有理化を簡単に行う技
Ⅲ 練習問題


目次
  • 1. Ⅰ 一般的な有理化の方法
  • 2. Ⅱ 有理化を簡単に行う技
  • 3. Ⅲ 練習問題

Ⅰ 一般的な有理化の方法

 まずは学校で習う一般的な有理化の方法を確認しておきましょう。

一般例

\begin{align}
(1)~~~ \frac{3}{\sqrt{3}}&=\frac{3 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} \\
\\
&=\frac{3 \sqrt{3}}{3} \\
\\
&=\sqrt{3}
\end{align}
\begin{align}
(2)~~~ \frac{20}{\sqrt{32}}&=\frac{20}{4\sqrt{2}} \\
\\
&=\frac{20 \times \sqrt{2}}{4\sqrt{2} \times \sqrt{2}} \\
\\
&=\frac{20 \sqrt{2}}{4 \times 2} \\
\\
&=\frac{5 \sqrt{2}}{2}
\end{align}

 分母の有理化の一般的な方法は、

 分母の\(~\sqrt{~~}~\)と同じ数を、分母・分子両方にかける

 というものでした。
 
 しかし、この2題のようなパターンに関して、もっと簡単に有理化する方法があるんです!!

 次章で紹介します↓


Ⅱ 有理化を簡単に行う技

 ということで、まずは一般化した式から。

有理化を簡単に行う技

 \(~\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a}}~\)の分母の有理化は、
\begin{equation}
\frac{a}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}\times \sqrt{a}}{\sqrt{a}}=\sqrt{a}
\end{equation}
で行える。

 この式だけだと、良さがあまり伝わってこないかもしれませんが、先ほどの例に適用してあげるとその差がわかるかと思います。

適用例

\begin{align}
(1)~~~ \frac{3}{\sqrt{3}}&=\frac{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\
\\
&=\sqrt{3}
\end{align}
\begin{align}
(2)~~~ \frac{20}{\sqrt{32}}&=\frac{20}{4\sqrt{2}} \\
\\
&=\frac{10 \times \sqrt{2} \times \sqrt{2}}{4\sqrt{2}} \\
\\
&=\frac{5 \sqrt{2}}{2}
\end{align}

 いかがでしょう? 難しいことをしているわけではありません。

 \(~a~\)は、\(~\sqrt{a}~\)を2回かけたものなので、分子を\(~a=\sqrt{a} \times \sqrt{a}~\)と変形してあげることで、分母の\(~\sqrt{a}~\)と約分ができます。

 この方法だと、(1)程度の有理化なら頭の中でもできそうですね。
 
 (2)では、分子を\(~20=10 \times 2~\)としてあげることで、\(~\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2}}~\)の形が出てきます。
 
 途中式を1行ほど節約できるのも時間短縮につながります。
 
 せっかくなので、もう少し適用例を挙げておきます。

適用例(追加)

\begin{align}
(3)~~~ \frac{6}{\sqrt{2}}&=\frac{3 \times \sqrt{2}\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\
\\
&=3\sqrt{2}
\end{align}
\begin{align}
(4)~~~ \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{20}}&=\frac{5\sqrt{2}}{2\sqrt{5}} \\
\\
&=\frac{\sqrt{5} \times \sqrt{5} \times \sqrt{2}}{2\sqrt{5}} \\
\\
&=\frac{\sqrt{10}}{2}
\end{align}
\begin{align}
(5)~~~ \frac{8}{3\sqrt{8}}&=\frac{8}{3 \times 2\sqrt{2}} \\
\\
&=\frac{4 \times \sqrt{2} \times \sqrt{2}}{6\sqrt{2}} \\
\\
&=\frac{2 \sqrt{2}}{3}
\end{align}

 コツを掴めてきましたか?
 ちなみにですが、(5)に関してはこんな方法も。
\begin{align}
(5)~~~ \frac{8}{3\sqrt{8}}&=\frac{\sqrt{8}\times \sqrt{8}}{3 \sqrt{8}} \\
\\
&=\frac{\sqrt{8}}{3} \\
\\
&=\frac{2 \sqrt{2}}{3}
\end{align}
 
 
 ただし、\(~\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}~\)や\(~\displaystyle \frac{3}{\sqrt{6}}~\)のように、\(~\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a}}~\)の形が現れない形には使えません。
 通常の方法で有理化しましょう。


Ⅲ 練習問題

 せっかくなので、練習問題を用意しました。
 通常の方法でしか、有理化できない問題も混ぜていますので、\(~\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a}}~\)の形があるかどうかを見極めつつ、今回の技を使ってみてください。

練習問題

次の数の分母を有理化しなさい。
(1)\(~~~\displaystyle \frac{5}{\sqrt{5}}\)
 
(2)\(~~~\displaystyle \frac{3}{2\sqrt{3}}\)
 
(3)\(~~~\displaystyle \frac{4}{\sqrt{18}}\)
 
(4)\(~~~\displaystyle \frac{2}{\sqrt{6}}\)
 
(5)\(~~~\displaystyle \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{40}}\)

解答・解説はこちら
 以上、有理化を楽に、速く行う方法でした。是非使ってみてください。


 分数を見た瞬間、この技が使えるかどうかを判断できるかが鍵! 


 
 


中3数学式と計算中3数学

Posted by Fuku