分母の有理化を簡単に行う技

 $~\sqrt{~~}~$の計算では、分母に$~\sqrt{~~}~$が出てくると、有理化という式変形を行います。その有理化を簡単にできる方法を紹介します。
Ⅰ 一般的な有理化の方法
Ⅱ 有理化を簡単に行う技
Ⅲ 練習問題


目次

Ⅰ 一般的な有理化の方法

 まずは学校で習う一般的な有理化の方法を確認しておきましょう。

一般例

\begin{align}
(1)~~~ \frac{3}{\sqrt{3}}&=\frac{3 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} \\
\\
&=\frac{3 \sqrt{3}}{3} \\
\\
&=\sqrt{3}
\end{align}
\begin{align}
(2)~~~ \frac{20}{\sqrt{32}}&=\frac{20}{4\sqrt{2}} \\
\\
&=\frac{20 \times \sqrt{2}}{4\sqrt{2} \times \sqrt{2}} \\
\\
&=\frac{20 \sqrt{2}}{4 \times 2} \\
\\
&=\frac{5 \sqrt{2}}{2}
\end{align}

 分母の有理化の一般的な方法は、

 分母の$~\sqrt{~~}~$と同じ数を、分母・分子両方にかける

 というものでした。
 
 しかし、この2題のようなパターンに関して、もっと簡単に有理化する方法があるんです!!

 次章で紹介します↓


Ⅱ 有理化を簡単に行う技

 ということで、まずは一般化した式から。

有理化を簡単に行う技

 $~\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a}}~$の分母の有理化は、
\begin{equation}
\frac{a}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}\times \sqrt{a}}{\sqrt{a}}=\sqrt{a}
\end{equation}
で行える。

 この式だけだと、良さがあまり伝わってこないかもしれませんが、先ほどの例に適用してあげるとその差がわかるかと思います。

適用例

\begin{align}
(1)~~~ \frac{3}{\sqrt{3}}&=\frac{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\
\\
&=\sqrt{3}
\end{align}
\begin{align}
(2)~~~ \frac{20}{\sqrt{32}}&=\frac{20}{4\sqrt{2}} \\
\\
&=\frac{10 \times \sqrt{2} \times \sqrt{2}}{4\sqrt{2}} \\
\\
&=\frac{5 \sqrt{2}}{2}
\end{align}

 いかがでしょう? 難しいことをしているわけではありません。

 $~a~$は、$~\sqrt{a}~$を2回かけたものなので、分子を$~a=\sqrt{a} \times \sqrt{a}~$と変形してあげることで、分母の$~\sqrt{a}~$と約分ができます。

 この方法だと、(1)程度の有理化なら頭の中でもできそうですね。
 
 (2)では、分子を$~20=10 \times 2~$としてあげることで、$~\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2}}~$の形が出てきます。
 
 途中式を1行ほど節約できるのも時間短縮につながります。
 
 せっかくなので、もう少し適用例を挙げておきます。

適用例(追加)

\begin{align}
(3)~~~ \frac{6}{\sqrt{2}}&=\frac{3 \times \sqrt{2}\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\
\\
&=3\sqrt{2}
\end{align}
\begin{align}
(4)~~~ \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{20}}&=\frac{5\sqrt{2}}{2\sqrt{5}} \\
\\
&=\frac{\sqrt{5} \times \sqrt{5} \times \sqrt{2}}{2\sqrt{5}} \\
\\
&=\frac{\sqrt{10}}{2}
\end{align}
\begin{align}
(5)~~~ \frac{8}{3\sqrt{8}}&=\frac{8}{3 \times 2\sqrt{2}} \\
\\
&=\frac{4 \times \sqrt{2} \times \sqrt{2}}{6\sqrt{2}} \\
\\
&=\frac{2 \sqrt{2}}{3}
\end{align}

 コツを掴めてきましたか?
 ちなみにですが、(5)に関してはこんな方法も。
\begin{align}
(5)~~~ \frac{8}{3\sqrt{8}}&=\frac{\sqrt{8}\times \sqrt{8}}{3 \sqrt{8}} \\
\\
&=\frac{\sqrt{8}}{3} \\
\\
&=\frac{2 \sqrt{2}}{3}
\end{align}
 
 
 ただし、$~\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}~$や$~\displaystyle \frac{3}{\sqrt{6}}~$のように、$~\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a}}~$の形が現れない形には使えません。
 通常の方法で有理化しましょう。


Ⅲ 練習問題

 せっかくなので、練習問題を用意しました。
 通常の方法でしか、有理化できない問題も混ぜていますので、$~\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a}}~$の形があるかどうかを見極めつつ、今回の技を使ってみてください。

練習問題

次の数の分母を有理化しなさい。
(1)$~~~\displaystyle \frac{5}{\sqrt{5}}$
 
(2)$~~~\displaystyle \frac{3}{2\sqrt{3}}$
 
(3)$~~~\displaystyle \frac{4}{\sqrt{18}}$
 
(4)$~~~\displaystyle \frac{2}{\sqrt{6}}$
 
(5)$~~~\displaystyle \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{40}}$

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解答

$~\displaystyle (1)~~~\sqrt{5}~~~~~~~$$~\displaystyle (2)~~~\frac{\sqrt{3}}{2}~~~~~~~$$~\displaystyle (3)~~~\frac{2\sqrt{2}}{3}~~~~~~~$$~\displaystyle (4)~~~\frac{\sqrt{6}}{3}~~~~~~~$$~\displaystyle (5)~~~\sqrt{30}$

解説

\begin{align}
(1)~~~ \frac{5}{\sqrt{5}}&=\frac{\sqrt{5} \times \sqrt{5}}{\sqrt{5}} \\
\\
&=\sqrt{5}
\end{align}
\begin{align}
(2)~~~ \frac{3}{2\sqrt{3}}&=\frac{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{2\sqrt{3}} \\
\\
&=\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{align}
\begin{align}
(3)~~~ \frac{4}{\sqrt{18}}&=\frac{4}{3\sqrt{2}} \\
\\
&=\frac{2 \times \sqrt{2} \times \sqrt{2}}{3\sqrt{2}} \\
\\
&=\frac{2\sqrt{2}}{3}
\end{align}
\begin{align}
(4)~~~ \frac{2}{\sqrt{6}}&=\frac{2 \times \sqrt{6}}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}} \\
\\
&=\frac{2\sqrt{6}}{6} \\
\\
&=\frac{\sqrt{6}}{3}
\end{align}
\begin{align}
(5)~~~ \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{40}}&=\frac{20\sqrt{3}}{2\sqrt{10}} \\
\\
&=\frac{2 \times \sqrt{10} \times \sqrt{10} \times \sqrt{3}}{2\sqrt{10}} \\
\\
&=\sqrt{30}
\end{align}

※(4)は一般的な方法のみ
[/wpex]
 以上、有理化を楽に、速く行う方法でした。是非使ってみてください。


 分数を見た瞬間、この技が使えるかどうかを判断できるかが鍵! 


 
 


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