オイラーの多面体定理

まず、凸多面体を平面グラフに変換することを考える。
下のように、凸多面体の一点（頂点や辺上を除く）に穴を開ける。
（例として、直方体の上底面に穴を開ける）

その穴を広げ、平面にする。
（全ての辺がゴムでできていると考えるとわかりやすい。上底面であった部分は黄色、下底面であった部分は水色で示してある。）

この考え方により、凸多面体は平面グラフに変換することができる。
（ちなみに、この平面グラフでは \(~v=8,e=12,f=6~\) となり、確かに直方体の各値を同じである。）

 
次に、任意の平面グラフは \(~v-e+f=2~\) であることを示す。

①１つの頂点からなる平面グラフの場合

　平面グラフで最も簡単なものは、１頂点からなる平面グラフである。

このグラフにおいて、 \(~v=1,e=0,f=1~\) より、
\begin{equation}
1-0+1=2
\end{equation}
で、オイラーの多面体定理は成り立つ。
 
この状態から、２通りの手順を繰り返していくことで、任意の平面グラフを作ることができる。
 

②新しい頂点とそれを結ぶ辺を追加する場合

この場合、頂点 \(~v~\) と辺 \(~e~\) がそれぞれ \(~+1~\) される。
よって、 \(~v=v+1,e=e+1~\) として、計算すると
\begin{align}
(v+1)-(e+1)+f&=v+1-e-1+f \\
&=v-e+f \\
&=2
\end{align}
となり、この手順によって、等式が成り立たなくなることはない。
（上の図だと、 \(~v=1,e=0,f=1~\) が \(~v=2,e=1,f=1~\) になっている）
 

③既存の２頂点を結ぶ辺の追加をする場合

この場合、頂点 \(~e~\) と辺 \(~f~\) がそれぞれ \(~+1~\) される。
よって、 \(~e=e+1,f=f+1~\) として、計算をすると
\begin{align}
v-(e+1)+(f+1)&=v-e-1+f+1　　\\
&=v-e+f \\
&=2
\end{align}
となり、この手順によって、等式が成り立たなくなることはない。
（上の図だと、 \(~v=3,e=2,f=1~\) が \(~v=3,e=3,f=2~\) になっている）
 
以上の２手順で、等式が成り立たなくなることはない。
また、任意の平面グラフは１頂点だけのグラフから２手順を繰り返すことで作られるため、任意の平面グラフでオイラーの多面体定理が成り立つことが示された。 \(~\blacksquare~\)