任意の三角形は二等辺三角形である??

数学間違い探し第1弾。証明の穴を見つけてみてください。


命題??

 任意の三角形は二等辺三角形である。

証明??

 任意の $~\triangle ABC~$ で、 $~∠A~$ の二等分線と $~BC~$ の垂直二等分線の交点を $~D~$ とする。
  $~D~$ から $~AB~$ と $~AC~$ に垂線を引き、それぞれの交点を $~E,F~$ とする。

 このとき、 $~\triangle AED~$ と $~\triangle AFD~$ において、
\begin{align}
&∠AED=∠AFD (仮定) \\
&∠AED=∠AFD=90° (仮定) \\
&ADは共通 \\
\end{align}
なので、 $~\triangle AED ≡ \triangle AFD~$  (斜辺一鋭角相等)
よって、 $~AE=AF~$  ・・・①
 
 また、 $~\triangle BDE~$ と $~\triangle CDF~$ において、
\begin{align}
&DE=DF (①より) \\
&BD=CD (垂直二等分線の性質) \\
&∠BED=∠CFD=90° (仮定)\\
\end{align}
なので、 $~\triangle BDE ≡ \triangle CDF~$  (斜辺他一辺相等)
よって、 $~EB=FC~$  ・・・②
 
①と②より、
\begin{equation}
AB=AE+EB=AF+FC=AC
\end{equation}
となるため、 $~\triangle ABC~$ は二等辺三角形となる。 $~\blacksquare~$

パッと見た感じ、正しい証明に見えますが・・・・。証明の隠れた穴、見つけられますか?
 
[wpex more=”謎解きはこちら” less=”謎解きを閉じる”]

証明の穴

実は、図が間違っています。(角の二等分線と垂直二等分線が三角形内で交わることはない)
 
$~\triangle ABC~$ が二等辺三角形ではないとき、 $~AB > AC~$ か $~AB < AC~$ が成り立つ。 $~AB > AC~$ のとき、命題??と同様に $~D,E,F~$ を定め、 $~BC~$ の中点を $~G~$ 、 $~∠A~$ の二等分線と $~BC~$ の交点を $~H~$ とすると、次のような図になる。

なぜ、このような図になることが言えるかを証明する。
 
$~G~$ は中点であるため、
\begin{equation}
BG=GC ・・・①
\end{equation}
また、内角二等分線の定理から、

\begin{equation}
BH:HC=AB:AC  すなわち、BH > HC ・・・②
\end{equation}


\begin{equation}
BH:HC=AB:AC \\
すなわち、BH > HC ・・・②
\end{equation}

以上の①と②より、 $~B,G,H,C~$ の順に一直線上に並んでいる(上図)ことがわかる。
 
よって、垂直二等分線角の二等分線の交点 $~D~$ は $~\triangle ABC~$ の外部に存在することが言えた。
 
このとき $~\triangle AED ≡ \triangle AFD,\triangle BDE ≡ \triangle CDF~$ は成り立つが、 $~F~$ は線分 $~AC~$ 外に存在するため、
\begin{align}
AB&=AE+EB  \\
AC&=AF-FC
\end{align}
となり、 $~AB \neq AC~$ となってしまう。

垂直二等分線と角の二等分線の交点から垂線を引いた場合、その交点の1つは辺上にでき、もう1つは辺外にできることの証明は二等分線と垂線の定理を参考にしてください。


いかにも合っているような証明ですが、きちんと穴はありました。与えられた図を鵜呑みにせず、自分で書いてみるのは数学でとても大切なことです。

   
 
 

[/wpex]

よかったらシェアしてね!

コメント

コメント一覧 (2件)

  • 角の二等分線と垂直二等分線が三角形内で交わらないとかですかね?
    それ以外はわかりませんでした

    •  コメントありがとうございます。

       要するにそういうことです。自分も読み返してみて、証明の厳密性を求めるあまりわかりにくかったなと思いました。
       ぺぺさんの文言を使わせていただき、要点の部分を編集いたしました。

       今後ともどうぞよろしくお願いします。

コメントする

CAPTCHA


目次
閉じる