任意の三角形は二等辺三角形である??

数学パズル平面図形数学パズル

数学間違い探し第1弾。証明の穴を見つけてみてください。


命題??

 任意の三角形は二等辺三角形である。

証明??

 任意の \(~\triangle ABC~\) で、 \(~∠A~\) の二等分線と \(~BC~\) の垂直二等分線の交点を \(~D~\) とする。
  \(~D~\) から \(~AB~\) と \(~AC~\) に垂線を引き、それぞれの交点を \(~E,F~\) とする。

 このとき、 \(~\triangle AED~\) と \(~\triangle AFD~\) において、
\begin{align}
&∠AED=∠AFD (仮定) \\
&∠AED=∠AFD=90° (仮定) \\
&ADは共通 \\
\end{align}
なので、 \(~\triangle AED ≡ \triangle AFD~\)  (斜辺一鋭角相等)
よって、 \(~AE=AF~\)  ・・・①
 
 また、 \(~\triangle BDE~\) と \(~\triangle CDF~\) において、
\begin{align}
&DE=DF (①より) \\
&BD=CD (垂直二等分線の性質) \\
&∠BED=∠CFD=90° (仮定)\\
\end{align}
なので、 \(~\triangle BDE ≡ \triangle CDF~\)  (斜辺他一辺相等)
よって、 \(~EB=FC~\)  ・・・②
 
①と②より、
\begin{equation}
AB=AE+EB=AF+FC=AC
\end{equation}
となるため、 \(~\triangle ABC~\) は二等辺三角形となる。 \(~\blacksquare~\)

パッと見た感じ、正しい証明に見えますが・・・・。証明の隠れた穴、見つけられますか?
 
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