１＝－１の証明？？

次の等式を考える。
\begin{equation}
\displaystyle \frac{x+1}{p+q+1}=\frac{x-1}{p+q-1}
\end{equation}
 
①　両辺 \(~-1~\) を加える。
\begin{equation}
\displaystyle \frac{x+1}{p+q+1}-1=\frac{x-1}{p+q-1}-1
\end{equation}
 
②　通分して計算をする。
\begin{align}
\displaystyle \frac{x+1}{p+q+1}-\frac{p+q+1}{p+q+1}&=\frac{x-1}{p+q-1}-\frac{p+q-1}{p+q-1} \\
\\
\displaystyle \frac{(x+1)-(p+q+1)}{p+q+1}&=\frac{(x-1)-(p+q-1)}{p+q-1} \\
\\
\displaystyle \frac{x+1-p-q-1}{p+q+1}&=\frac{x-1-p-q+1}{p+q-1} \\
\\
\displaystyle \frac{x-p-q}{p+q+1}&=\frac{x-p-q}{p+q-1} \\
\end{align}
 
③　両辺の分母が等しい。
　②より、両辺の分子は \(~x-p-q~\) で等しいため、等号成立のためには分母も等しくなければならない。したがって、
\begin{equation}
p+q+1=p+q-1
\end{equation}
 
④　③の等式の両辺から \(~p+q~\) をひく。
\begin{align}
p+q+1-(p+q)&=p+q-1-(p+q) \\
\\
p+q+1-p-q&=p+q-1-p-q \\
\\
1&=-1
\end{align}
よって、題意は示された。　 \(~\blacksquare~\)