1=-1の証明??

数学パズル式と計算数学パズル

数学間違い探し第3弾。これまた不思議な証明です。


命題??

 次の数式が成り立つ。
\begin{equation}
1=-1
\end{equation}

証明??

次の等式を考える。
\begin{equation}
\displaystyle \frac{x+1}{p+q+1}=\frac{x-1}{p+q-1}
\end{equation}
 
① 両辺 \(~-1~\) を加える。
\begin{equation}
\displaystyle \frac{x+1}{p+q+1}-1=\frac{x-1}{p+q-1}-1
\end{equation}
 
② 通分して計算をする。
\begin{align}
\displaystyle \frac{x+1}{p+q+1}-\frac{p+q+1}{p+q+1}&=\frac{x-1}{p+q-1}-\frac{p+q-1}{p+q-1} \\
\\
\displaystyle \frac{(x+1)-(p+q+1)}{p+q+1}&=\frac{(x-1)-(p+q-1)}{p+q-1} \\
\\
\displaystyle \frac{x+1-p-q-1}{p+q+1}&=\frac{x-1-p-q+1}{p+q-1} \\
\\
\displaystyle \frac{x-p-q}{p+q+1}&=\frac{x-p-q}{p+q-1} \\
\end{align}
 
③ 両辺の分母が等しい。
 より、両辺の分子は \(~x-p-q~\) で等しいため、等号成立のためには分母も等しくなければならない。したがって、
\begin{equation}
p+q+1=p+q-1
\end{equation}
 
④ ③の等式の両辺から \(~p+q~\) をひく。
\begin{align}
p+q+1-(p+q)&=p+q-1-(p+q) \\
\\
p+q+1-p-q&=p+q-1-p-q \\
\\
1&=-1
\end{align}
よって、題意は示された。  \(~\blacksquare~\)

この証明が正しいとすると、
\begin{equation}
1+1=1+(-1)=0
\end{equation}
となってしまいますね(笑)
 
 どの手順で間違いがあるのでしょうか・・・。
 


謎解きはこちら

◇参考文献等
・アルフレッド・S・ポザマンティエ/イングマール・レーマン(2015)『数学まちがい大全集』,pp.101-103,堀江太郎訳,化学同人.