とあるゲームガチャの確率
Fukusukeが日頃遊ばせてもらっているソーシャルゲームの中で、ピックアップガチャがありました。
そのガチャにおける現実的な確率を計算してみようと思います。
Ⅰ 設定
Ⅱ 計算結果
Ⅲ 高確率でゲットするために
Ⅰ 設定
多くのソーシャルゲームでは、課金をして「ガチャ」を引き、欲しいキャラを手に入れるというシステムを有しています。
Fukusukeはとあるソーシャルゲームをやっていますが、先日次のようなピックアップガチャ（特定のキャラが出やすいガチャ）がありました。
欲しいキャラがピックアップされていたので、計算をしてみました。ガチャの設定は次のようなものです。
Fukusukeは10連続ガチャを回したい。
10連ガチャにおいて、1体目から9体目でノーマル、レア、スーパーレアの出る確率はそれぞれ75%、20％、5%。
10体目はレア、スーパーレアしか出ず、それぞれ確率は87.5%、17.5% である。
スーパーレアのキャラは計180体のうち、A～Eのキャラ5体は、他のスーパーレアのキャラに比べ3倍の確率で出やすい。
（また、レアのキャラは計220体のうち、特定のキャラ5体は、他のレアのキャラに比べ3倍の確率で出やすい。）
Fukusukeが1回の10連続ガチャで、Aのキャラをゲットする確率を求めなさい。
普段こういったガチャに接していない方には、設定が飲み込みにくいとは思いますが、単発のガチャよりも連続ガチャのほうが良いキャラが手に入りやすくなっているのが普通です。
どのソーシャルゲームかわかってしまうと、日頃遊ばせてもらっている運営さんに迷惑がかかる可能性があるので、レアリティ名等は適当に書いています（笑）
では、次章で計算してみましょう。
Ⅱ 計算結果
結論を先に示します。
上記のピックアップ10連続ガチャ1回において、お目当てのキャラAをゲットできる確率は
\begin{equation}
0.009826 \fallingdotseq 0.98\%
\end{equation}
である。
ピックアップされていて確率が3倍になっているにも関わらず、1%にも満たない確率ということがわかりました。
根拠はこちら↓
①1体目から9体目の確率
スーパーレアのキャラは180体いて、A～Eの5体だけが3倍でやすいということは、スーパーレアのキャラ内でのAの出る確率は
\begin{equation}
\displaystyle \frac{3}{175+5\times 3}=\frac{3}{190}
\end{equation}
となる。
スーパーレア自体は5%の確率でしか出ないので、結果的に
\begin{equation}
\displaystyle \frac{5}{100} \times \frac{3}{190}=\frac{3}{3800} \fallingdotseq 0.079\%
\end{equation}
となる。
②10体目の確率
10体目は特別にスーパーレア自体の確率が17.5%になるため、
\begin{equation}
\displaystyle \frac{17.5}{100} \times \frac{3}{190}=\frac{21}{7600} \fallingdotseq 0.276\%
\end{equation}
③10連続ガチャの確率
①の試行を9回、②を試行を1回行うのが、10連続ガチャである。
Aが少なくとも1回出る確率を求めたいので、余事象の考え方より、
\begin{align}
\displaystyle &1-\left( 1-\frac{3}{3800} \right)^9 \times \left( 1-\frac{21}{7600} \right) \\
\\
&=1-\left( \frac{3797}{3800} \right)^9 \times \left( \frac{7579}{7600} \right) \\
\\
&\fallingdotseq 0.009826 \\
\\
&\fallingdotseq 0.98 \%
\end{align}
となり、求めたい確率が導けた。 \(~\blacksquare~\)
元々、スーパーレアの出る確率が5%や17.5%であるため、その中でのAが出る確率が3倍になったところで、ピックアップできていないということですね（笑）
ちなみに、同じ10連続ガチャ1回において、狙いを変えていろいろ実験をしてみました。
| 狙い | 確率 |
|---|---|
| ①特定のピックアップスーパーレア1体（上の問題） | 0.98% |
| ②特定のピックアップレア1体 | 3.37% |
| ③何でもいいからピックアップスーパーレア1体 | 4.83% |
| ④何でもいいからピックアップレア1体 | 15.93% |
| ⑤特定のピックアップ以外のスーパーレア1体 | 0.33% |
| ⑥特定のピックアップ以外のレア1体 | 1.14% |
確かにピックアップ10連続ガチャによって、合計約20%の確率でピックアップされているキャラが出ることがわかりました。
しかし、「ピックアップされている中でこのキャラが欲しい！」と意気込んで考えると、レアでさえ3.37%しかないということになります。
Ⅲ 高確率でゲットするために
「是が非でも欲しい！」「いくら課金してもいいから欲しい！！」という人は何回10連続ガチャをすればよいのでしょうか。
先ほどの①～⑥の狙いについて、10連続ガチャ100回分の実験値を出してみました。（単位は%です）
| 回数 | ① | ② | ③ | ④ | ⑤ | ⑥ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1回 | 0.98 | 3.37 | 4.83 | 15.93 | 0.33 | 1.14 |
| 10回 | 9.4 | 29.0 | 39.0 | 82.4 | 3.2 | 10.8 |
| 20回 | 17.9 | 49.7 | 62.8 | 96.9 | 6.4 | 20.4 |
| 30回 | 25.6 | 64.3 | 77.4 | 99.5 | 9.4 | 29.0 |
| 40回 | 32.6 | 64.3 | 77.4 | 99.5 | 12.3 | 36.7 |
| 50回 | 39.0 | 82.0 | 91.2 | 99.9 | 15.2 | 43.5 |
| 100回 | 62.7 | 96.8 | 99.3 | 99.9 | 28.0 | 68.1 |
100回10連続ピックアップガチャをやったとしても、特定のスーパーレアキャラが出る確率は6割程ということがわかりました。
課金はほどほどに・・・・。
◇参考文献等
あま～い言葉に誘われて、課金＆ガチャをしないよう注意が必要ですね。数学ってやっぱり頼もしい。