ハゲのパラドックス

数学雑学集合・論理数学雑学

 数学的帰納法を用いて証明できる、おもしろいパラドックスを紹介します。
Ⅰ パラドックスの内容
Ⅱ パラドックスの回避


目次
  • 1. Ⅰ パラドックスの内容
  • 2. Ⅱ パラドックスの回避

Ⅰ パラドックスの内容

 いきなりですが、命題です。

命題

 すべての人はハゲである。

 この命題は真でしょうか? 

「周りに髪の毛フサフサの人がいるから、その人が反例。」

 ということで、この命題は と言いたくなるでしょう。
 
 しかし、数学的帰納法を使うと、この命題は真になるのです。

証明

 数学的帰納法で証明する。
 
 ある人の髪の毛の本数を \(~n~\) 本とする。
 
① \(~n=0~\) のとき

 髪の毛が \(~0~\) 本の人はハゲであるので、成り立つ。
 
② \(~n=k~\) のとき
 髪の毛が \(~k~\) 本の人をハゲだと仮定する。

 ハゲの人に髪の毛を \(~1~\) 本生やしても(\(n=k+1\))、ハゲはハゲである。

 よって、髪の毛が \(~k+1~\) 本の人もハゲである。
 
 より、髪の毛が何本でもハゲである。

 ということで、髪の毛が何本生えていてもハゲということになりますので、すべての人はハゲということになります。
 
 さて、この議論のどこに誤りがあるのでしょうか?


Ⅱ パラドックスの回避

 まずは下のイラストをご覧ください。

 0本から1本に増えましたが、これはハゲからハゲですよね?
 
 しかし、同じ「1本増える」という状況でも、

 この本数なら、フサフサからフサフサですよね?
 
 すなわち、髪の毛が1本増えたからハゲかフサフサかが決まるのではなく、見た目の髪の毛の量でハゲかどうかは決まるのです。
 
 そして、それは髪の毛が何本以下ならハゲで、何本以上ならフサフサ・・・というような明確な基準がなく、あくまで判断する人の主観によるものです。
 
 まとめると、

パラドックスが生じる理由

 ハゲという定義があいまいであるため、数学的な論理が使えないから。

 「ハゲとは、髪の毛が100本以下の人のことをいう」など、定義をはっきりさせれば数学的な論理が使えます。(その場合、命題が偽であることがハッキリしますが・・・)
 
 定義の大切さがわかるパラドックスでした。


 髪の毛の絵、雑・・・。