ハゲのパラドックス

 数学的帰納法を用いて証明できる、おもしろいパラドックスを紹介します。
Ⅰ パラドックスの内容
Ⅱ パラドックスの回避


目次

Ⅰ パラドックスの内容

 いきなりですが、命題です。

命題

 すべての人はハゲである。

 この命題は真でしょうか? 

「周りに髪の毛フサフサの人がいるから、その人が反例。」

 ということで、この命題は と言いたくなるでしょう。
 
 しかし、数学的帰納法を使うと、この命題は真になるのです。

証明

 数学的帰納法で証明する。
 
 ある人の髪の毛の本数を $~n~$ 本とする。
 
① $~n=0~$ のとき

 髪の毛が $~0~$ 本の人はハゲであるので、成り立つ。
 
② $~n=k~$ のとき
 髪の毛が $~k~$ 本の人をハゲだと仮定する。

 ハゲの人に髪の毛を $~1~$ 本生やしても($n=k+1$)、ハゲはハゲである。

 よって、髪の毛が $~k+1~$ 本の人もハゲである。
 
 より、髪の毛が何本でもハゲである。

 ということで、髪の毛が何本生えていてもハゲということになりますので、すべての人はハゲということになります。
 
 さて、この議論のどこに誤りがあるのでしょうか?


Ⅱ パラドックスの回避

 まずは下のイラストをご覧ください。

 0本から1本に増えましたが、これはハゲからハゲですよね?
 
 しかし、同じ「1本増える」という状況でも、

 この本数なら、フサフサからフサフサですよね?
 
 すなわち、髪の毛が1本増えたからハゲかフサフサかが決まるのではなく、見た目の髪の毛の量でハゲかどうかは決まるのです。
 
 そして、それは髪の毛が何本以下ならハゲで、何本以上ならフサフサ・・・というような明確な基準がなく、あくまで判断する人の主観によるものです。
 
 まとめると、

パラドックスが生じる理由

 ハゲという定義があいまいであるため、数学的な論理が使えないから。

 「ハゲとは、髪の毛が100本以下の人のことをいう」など、定義をはっきりさせれば数学的な論理が使えます。(その場合、命題が偽であることがハッキリしますが・・・)
 
 定義の大切さがわかるパラドックスでした。


 髪の毛の絵、雑・・・。

   
 
 


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コメント

コメント一覧 (2件)

  • 家族と拝見させていただきました。なんせうちの曽祖父がいわゆる「ハゲ」というやつだったので。笑
    なるほど…このような視点から考えたのは人生で初めてでした!なんせ、「ハゲ」の定理について考えたことがなかったものですから…。
    どうでもいいかもしれないですが、ペンギンに一本だけ髪の毛が生えている絵が、まる子の波平にしか見えなくて弟が爆笑していました。笑
    ずっと思っていたんですが、あのペンギン可愛い…♡

    • この記事でもコメント、励みになります!!

      パラドックスはこのように楽しいものが多いです。
      絵心ない中で、うまく図形を組み合わせて概形を作り、そこに手を加えて「ふくすけ」が完成しました。
      ハゲの絵は描けなかったので、あんな残念なふくすけに・・・。

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