ヘロンの公式

AからBCに垂線BHを引く。 $~BH=x~$ とする。

△ABHで三平方の定理より、
\begin{equation}
AH^2=c^2-x^2・・・①
\end{equation}
また、△ACHで三平方の定理より、
\begin{equation}
AH^2=b^2-(a-x)^2・・・②
\end{equation}
① , ②より、
\begin{align}
c^2-x^2 &= b^2-(a-x)^2 \\
c^2-x^2 &= b^2-(a^2-2ax+x^2) \\
c^2-x^2 &= b^2-a^2+2ax-x^2 \\
-2ax&=b^2-a^2-c^2 \\
\\
x&=\displaystyle \frac{a^2+c^2-b^2}{2a}
\end{align}
よって、△ABCの高さAHは、
\begin{align}
AH&=\sqrt{c^2-x^2} \\
\\
&=\displaystyle \sqrt{c^2-\frac{(a^2+c^2-b^2)^2}{4 a^2}} \\
\\
&=\sqrt{c^2-\frac{a^4+c^4+b^4+2 a^{2} c^2-2 b^{2} c^2-2 a^{2} b^2}{4 a^2}} \\
\\
&=\sqrt{\frac{4a^2c^2-(a^4+c^4+b^4+2 a^{2} c^2-2 b^{2} c^2-2 a^{2} b^2)}{4 a^2}} \\
\\
&=\sqrt{\frac{4a^2c^2-a^4-c^4-b^4-2 a^{2} c^2+2 b^{2} c^2+2 a^{2} b^2)}{4 a^2}} \\
\\
&=\sqrt{\frac{-a^4-c^4-b^4+2 a^{2} c^2+2 b^{2} c^2+2 a^{2} b^2)}{4 a^2}} \\
\\
&=\sqrt{\frac{-(a^4+b^4+c^4-2 a^{2} c^2-2 b^{2} c^2-2 a^{2} b^2)}{4 a^2}} \\
\\
&=\sqrt{\frac{-\{ (a^2-b^2-c^2)^2-4b^{2}c^2 \}}{4 a^2}} \\
\\
&=\sqrt{\frac{-\{ (a^2-b^2-c^2)+2bc\}\{ (a^2-b^2-c^2)-2bc\}}{4 a^2}} \\
\\
&=\sqrt{\frac{-\{ a^2-(b^2+c^2-2bc)\}\{ a^2-(b^2+c^2+2bc)\}}{4 a^2}} \\
\\
&=\sqrt{\frac{-\{ a^2-(b-c)^2\}\{ a^2-(b+c)^2\}}{4 a^2}} \\
\\
&=\sqrt{\frac{-(a+b-c)(a-b+c)(a+b+c)(a-b-c)}{4 a^2}} \\
\\
&=\sqrt{\frac{-(a+b+c)(a-b-c)(a-b+c)(a+b-c)}{4 a^2}} \\
\\
&=\sqrt{\frac{(a+b+c)(b+c-a)(a-b+c)(a+b-c)}{4 a^2}} \\
\\
&=\sqrt{\frac{(a+b+c)}{2}\cdot \frac{(b+c-a)}{2}\cdot \frac{(a-b+c)}{2}
\cdot \frac{(a+b-c)}{2}\cdot \frac{4}{a^2}} \\
\\
&=\sqrt{\frac{(a+b+c)}{2}\cdot \frac{(a+b+c-2a)}{2}\cdot \frac{(a+b+c-2b)}{2}
\cdot \frac{(a+b+c-2c)}{2}\cdot \frac{4}{a^2}} \\
\\
&=\frac{2}{a} \sqrt{\left( \frac{a+b+c}{2} \right) \left( \frac{a+b+c}{2}-a \right) \left( \frac{a+b+c}{2}-b \right) \left( \frac{a+b+c}{2}-c \right) }
\\
\end{align}
ここで、 $~s=\displaystyle \frac{a+b+c}{2} ~$ より、
\begin{equation}
AH=\displaystyle \frac{2}{a} \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
\end{equation}
が求まる。
最後に△ABCの面積を求めると、
\begin{align}
△ABC&=\displaystyle \frac{1}{2} a \cdot AH \\
\\
&=\frac{1}{2} a \cdot \frac{2}{a} \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\
\\
&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
\end{align}
となり、ヘロンの公式が得られた。

∠Aに関する余弦定理を使って変形していくと、
\begin{align}
a^2&=b^2+c^2-2bc \cos{A} \\
2bc \cos{A}&=b^2+c^2-a^2 \\
\cos{A}&= \displaystyle \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}
\end{align}
となる。これを $~\sin{A}~$ に変換すると、
\begin{align}
\sin{A}&=\sqrt{1-\cos^2{A}} \\
&=\sqrt{(1+\cos{A})(1-\cos{A})} \\
&=\displaystyle \sqrt{\left(1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \right) \left(1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \right) } \\
\\
&= \sqrt{\left(\frac{2bc}{2bc}+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \right) \left(\frac{2bc}{2bc}-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \right) } \\
\\
&= \sqrt{\left(\frac{b^2+2bc+c^2-a^2}{2bc} \right) \left(\frac{a^2-b^2+2bc-c^2}{2bc} \right) } \\
\\
&= \sqrt{\left(\frac{b^2+2bc+c^2-a^2}{2bc} \right) \left\{ \frac{a^2-(b^2-2bc+c^2)}{2bc} \right\} } \\
\\
&= \sqrt{\left\{ \frac{(b+c)^2-a^2}{2bc} \right\} \left\{ \frac{a^2-(b-c)^2}{2bc} \right\} } \\
\\
&= \sqrt{\left\{ \frac{(b+c+a)(b+c-a)}{2bc} \right\} \left\{ \frac{(a+b-c)(a-b+c)}{2bc} \right\} } \\
\\
&=\frac{1}{2bc} \sqrt{(b+c+a)(b+c-a)(a+b-c)(a-b+c) } \\
\\
&=\frac{1}{2bc} \sqrt{(a+b+c)\{(a+b+c-2a)\}\{(a+b+c-2c)\} \{(a+b+c-2b)\} } \\
\\
&=\frac{1}{2bc} \sqrt{(a+b+c)\{(a+b+c-2a)\} \{(a+b+c-2b)\}\{(a+b+c-2c)\} } \\
\end{align}
ここで、 $~\displaystyle s=\frac{a+b+c}{2}~$ から、 $~a+b+c=2s~$ を代入すると、
\begin{align}
\sin{A}&=\displaystyle \frac{1}{2bc} \sqrt{2s(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c) } \\
\\
&=\displaystyle \frac{1}{2bc} \sqrt{2s \cdot 2(s-a) \cdot 2(s-b) \cdot 2(s-c) } \\
\\
&=\displaystyle \frac{1}{2bc} \cdot 4 \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c) } \\
\\
&=\displaystyle \frac{2}{bc} \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c) } \\
\end{align}
である。△ABCの面積を $~\sin{A}~$ を使って求めると、
\begin{align}
△ABC&=\displaystyle \frac{1}{2} bc \sin{A} \\
\\
&=\displaystyle \frac{1}{2} bc \cdot \frac{2}{bc} \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c) } \\
\\
&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c) }
\end{align}
と求まる。
 
以上より、ヘロンの公式が示された。 $~\blacksquare$