数学史３－８　～バビロニアの数学（平方根）～

　\(~\sqrt{2}~\)の近似値として、\(~a_1=1.5~\)を見積もる。
 
　\(~\displaystyle \frac{2}{a_1}=\frac{2}{1.5}=\frac{4}{3}~\)を考えると、
\begin{equation}
\frac{2}{a_1} < \sqrt{2} < a_1 \end{equation}となる。（補足①）
 
　次に、\(~a_2~\)を下のように定義する。
\begin{equation}
a_2=\frac{1}{2}\left(a_1+\frac{2}{a_1} \right)=\frac{1}{2}\left( \frac{3}{2}+\frac{4}{3} \right)=\frac{17}{12}
\end{equation}
　この\(~a_2=\displaystyle \frac{17}{12} \fallingdotseq 1.416 \cdots~\)は、\(~a_1~\)より小さく（補足②）、\(~\sqrt{2}~\)以上になる（補足③）ため、\(~a_1~\)よりも\(~\sqrt{2}~\)を高い精度で近似している。
 
　これを、
\begin{align}
a_3&=\frac{1}{2}\left(a_2+\frac{2}{a_2} \right) \\
\\
a_4&=\frac{1}{2}\left(a_3+\frac{2}{a_3} \right) \\
\end{align}
と続けていくことにより、\(~\sqrt{2}~\)をより高い精度で近似することができる。

補足①
 
\(~\displaystyle \sqrt{a_1 \cdot \frac{2}{a_1}}=\sqrt{2}~\)なので、\(~a_1~\)が\(~1.5~\)のように\(~\sqrt{2}~\)よりも大きければ、\(~\displaystyle \frac{2}{a_1}~\)は\(~\sqrt{2}~\)より小さくなる。

補足②
 
\begin{align}
a_1-a_2&=a_1-\frac{1}{2}\left(a_1+\frac{2}{a_1} \right) \\
\\
&=\frac{1}{2}a_1-\frac{1}{a_1} \\
\\
&=\frac{1}{a_1} \left( \frac{1}{2}a_1^2-1 \right) \\
\end{align}
であり、\(~\displaystyle \frac{1}{2}a_1^2-1 > 0~\)、すなわち \(~a_1 > \sqrt{2}~\)のときに\(~a_1 > a_2~\)とわかる。

補足③
 
　相加相乗平均から、
\begin{equation}
a_2=\frac{1}{2}\left(a_1+\frac{2}{a_1} \right) \ge \sqrt{a_1 \cdot \frac{2}{a_1}}=\sqrt{2}
\end{equation}
であるため、\(~a_2~\)は\(~\sqrt{2}~\)以上である。