数学史３－８　～バビロニアの数学（平方根）～

　$~\sqrt{2}~$の近似値として、$~a_1=1.5~$を見積もる。
 
　$~\displaystyle \frac{2}{a_1}=\frac{2}{1.5}=\frac{4}{3}~$を考えると、
\begin{equation}
\frac{2}{a_1} < \sqrt{2} < a_1 \end{equation}となる。（補足①）
 
　次に、$~a_2~$を下のように定義する。
\begin{equation}
a_2=\frac{1}{2}\left(a_1+\frac{2}{a_1} \right)=\frac{1}{2}\left( \frac{3}{2}+\frac{4}{3} \right)=\frac{17}{12}
\end{equation}
　この$~a_2=\displaystyle \frac{17}{12} \fallingdotseq 1.416 \cdots~$は、$~a_1~$より小さく（補足②）、$~\sqrt{2}~$以上になる（補足③）ため、$~a_1~$よりも$~\sqrt{2}~$を高い精度で近似している。
 
　これを、
\begin{align}
a_3&=\frac{1}{2}\left(a_2+\frac{2}{a_2} \right) \\
\\
a_4&=\frac{1}{2}\left(a_3+\frac{2}{a_3} \right) \\
\end{align}
と続けていくことにより、$~\sqrt{2}~$をより高い精度で近似することができる。

補足①
 
$~\displaystyle \sqrt{a_1 \cdot \frac{2}{a_1}}=\sqrt{2}~$なので、$~a_1~$が$~1.5~$のように$~\sqrt{2}~$よりも大きければ、$~\displaystyle \frac{2}{a_1}~$は$~\sqrt{2}~$より小さくなる。

補足②
 
\begin{align}
a_1-a_2&=a_1-\frac{1}{2}\left(a_1+\frac{2}{a_1} \right) \\
\\
&=\frac{1}{2}a_1-\frac{1}{a_1} \\
\\
&=\frac{1}{a_1} \left( \frac{1}{2}a_1^2-1 \right) \\
\end{align}
であり、$~\displaystyle \frac{1}{2}a_1^2-1 > 0~$、すなわち $~a_1 > \sqrt{2}~$のときに$~a_1 > a_2~$とわかる。

補足③
 
　相加相乗平均から、
\begin{equation}
a_2=\frac{1}{2}\left(a_1+\frac{2}{a_1} \right) \ge \sqrt{a_1 \cdot \frac{2}{a_1}}=\sqrt{2}
\end{equation}
であるため、$~a_2~$は$~\sqrt{2}~$以上である。