数学史3-8 ~バビロニアの数学(平方根)~

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 二次方程式を解く上でも使われた平方根の考え方。バビロニアでは、平方根の近似値がどのように算出されていたのかを解説します。

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Ⅰ YBC7289

 二次方程式や三平方の定理の中で不可避なのが平方根の考え方。
 解く上では、バビロニアお得意の平方根表が使われましたが、バビロニア人は平方根の値を細かく計算する術を持っていました。
 
 それを示す有名な粘土板が ニューヘブンのイェール大学にある粘土板(YBC:Yale Babylonian Collection)7289 です。(下図)

YBC7289
出典:Bill Casselman, CC BY-SA 3.0, via Wikimedia Commons

 これを、ケタ数まで配慮して解読すると、
YBC7289解読①
 さらに、60進数を10進数にすると、
YBC7289解読②
と書かれていて、1辺\(~30~\)の正方形の対角線の長さを、
\begin{equation}
30 \times 1.41421296\cdots=42.42638889 \cdots
\end{equation}
と計算しています。
 現在求まっている\(~\sqrt{2}=1.41421356~\)と比較しても、かなりの精度と言っていいでしょう。


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Ⅱ \(~\sqrt{2}~\)の近似値の求め方

 では、\(~\sqrt{2}~\)がどのようにして求まったのか?
 
 積表のケタ数にも限りがあり、筆算という技術もないバビロニアでは、次のような作業により近似値を求めていました。

\(~\sqrt{2}~\)の近似値の出し方

 \(~\sqrt{2}~\)の近似値として、\(~a_1=1.5~\)を見積もる。
 
 \(~\displaystyle \frac{2}{a_1}=\frac{2}{1.5}=\frac{4}{3}~\)を考えると、
\begin{equation}
\frac{2}{a_1} < \sqrt{2} < a_1 \end{equation}となる。(補足①)
 
 次に、\(~a_2~\)を下のように定義する。
\begin{equation}
a_2=\frac{1}{2}\left(a_1+\frac{2}{a_1} \right)=\frac{1}{2}\left( \frac{3}{2}+\frac{4}{3} \right)=\frac{17}{12}
\end{equation}
 この\(~a_2=\displaystyle \frac{17}{12} \fallingdotseq 1.416 \cdots~\)は、\(~a_1~\)より小さく(補足②)、\(~\sqrt{2}~\)以上になる(補足③)ため、\(~a_1~\)よりも\(~\sqrt{2}~\)を高い精度で近似している。
 
 これを、
\begin{align}
a_3&=\frac{1}{2}\left(a_2+\frac{2}{a_2} \right) \\
\\
a_4&=\frac{1}{2}\left(a_3+\frac{2}{a_3} \right) \\
\end{align}
と続けていくことにより、\(~\sqrt{2}~\)をより高い精度で近似することができる。


補足①
 
\(~\displaystyle \sqrt{a_1 \cdot \frac{2}{a_1}}=\sqrt{2}~\)なので、\(~a_1~\)が\(~1.5~\)のように\(~\sqrt{2}~\)よりも大きければ、\(~\displaystyle \frac{2}{a_1}~\)は\(~\sqrt{2}~\)より小さくなる。


補足②
 
\begin{align}
a_1-a_2&=a_1-\frac{1}{2}\left(a_1+\frac{2}{a_1} \right) \\
\\
&=\frac{1}{2}a_1-\frac{1}{a_1} \\
\\
&=\frac{1}{a_1} \left( \frac{1}{2}a_1^2-1 \right) \\
\end{align}
であり、\(~\displaystyle \frac{1}{2}a_1^2-1 > 0~\)、すなわち \(~a_1 > \sqrt{2}~\)のときに\(~a_1 > a_2~\)とわかる。


補足③
 
 相加相乗平均から、
\begin{equation}
a_2=\frac{1}{2}\left(a_1+\frac{2}{a_1} \right) \ge \sqrt{a_1 \cdot \frac{2}{a_1}}=\sqrt{2}
\end{equation}
であるため、\(~a_2~\)は\(~\sqrt{2}~\)以上である。

 Ⅰ章で出てきたYBC7289では、\(~60^{-3}~\)の位までしか書かれていないものの、実際は上記の方法でより細かいケタまで計算されていました。
 
 紀元前に\(~\sqrt{~~}~\)の近似値を求めるアルゴリズムがあり、しかも相加相乗平均の関係を使っているところがバビロニア数学のレベルの高さを表しています。


 高度過ぎてついていけない・・・。
ふくすけ笑顔
 紀元前とは思えないよね。
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◇参考文献等
・ヴィクターJカッツ著,上野健爾・三浦信夫監訳,中根美知代・高橋秀裕・林知宏・大谷卓史・佐藤賢一・東慎一郎・中澤聡訳(2009)『カッツ 数学の歴史』,pp.32-34,共立出版.
・中村滋・室井和男(2015)『数学史ーー数学5000年の歩み』,pp.71-72,共立出版.
・志賀浩二(2014)『数学の流れ30講(上)ー16世紀までー』,pp.25-26,朝倉書店.
・三浦伸夫・三宅克哉監訳,久村典子訳(2018)『メルツバッハ&ボイヤー 数学の歴史Ⅰー数学の萌芽から17世紀前期までー』,pp.32-36,朝倉書店.
・中村滋(2019)『ずかん 数字』,pp.52-57,技術評論社.
・アダム・ハート=デイヴィス(2020)『フィボナッチの兎 偉大な発見でたどる数学の歴史』,pp.18-20,創元社.

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Posted by Fuku