数学史５－６　～紀元前の中国（平方根）～

2021年5月27日文化史数学史文化史

　紀元前の中国の数学書『九章算術』の第４章は、面積から辺の長さを求める、平方根の考え方が載っていました。
　どのように計算したのでしょうか？

Ⅰ　平方根を求める方法

　バビロニアでは、相加相乗平均の考え方を用いて\(~\sqrt{2}\fallingdotseq 1.41421296~\)と求めた粘土板が残っていました。
 
　紀元前の中国でも、代表的な数学書『九章算術』の中で、平方根に関する問題を扱っています。

　正方形の一辺を\(~x~\)歩とすれば、
\begin{equation}
x^2=55225
\end{equation}
となり、まさに\(~55225~\)の正の平方根を求める問題となっています。
　『九章算術』の中では、平方根を求めるための算木の動かし方を説明していますが、この記事ではその基となった考え方を解説します。

　バビロニアのように無理数の近似値を求める問題は無かったため、この方法を有限回繰り返すことで、平方根の値を正確に求めています。

Ⅱ　平方根関連の問題

　Ⅰ章で紹介した『九章算術』４章問題12 以外にも、同章では平方根に関連する問題が多くありました。
　その中のいくつかを紹介します。

　こちらも『九章算術』４章問題12 と同様の方法で、\(~751 \frac{1}{2}~\)歩と求めています。

　こちらは円の面積の問題になっています。
　円周を\(~\ell~\)、円の面積を\(~S~\)としたとき、
\begin{equation}
S=\frac{\ell^2}{12}
\end{equation}
という関係式が『九章算術』１章に載っているため、
\begin{equation}
\ell=\sqrt{12S}=\sqrt{12 \cdot 300}=\sqrt{3600}
\end{equation}
として、円周は\(~60~\)歩と求めていました。

　こちらは立方根に関する問題です。
　平方根のときと同様の考え方を使って、一辺は\(~123~\)尺と求めています。

　算木という優れた計算道具を持つ紀元前の中国だからこそ、回数の多い計算作業を乗り越えて平方根や立方根を求めることができたのでしょう。
 
　計算力の高さと共に、理論的に問題を解いていた姿勢を読み取ることができたかと思います。

　素因数分解がない時代だと、ここまで計算が大変なのか・・。

　でも、この方法なら小数や分数で表された数でも根を求めることができるんだ。
　実際、分数の平方根や立方根だって登場していたよ。

◇参考文献等
・張替俊夫「『九章算術』訳注稿(10)」,＜ http://pal.las.osaka-sandai.ac.jp/~suanshu/articles/9Chapters10.pdf＞
・張替俊夫「『九章算術』訳注稿(11)」,＜ http://pal.las.osaka-sandai.ac.jp/~suanshu/articles/9Chapters11.pdf＞
・ヴィクターJカッツ著,上野健爾・三浦信夫監訳,中根美知代・高橋秀裕・林知宏・大谷卓史・佐藤賢一・東慎一郎・中澤聡訳（2009）『カッツ　数学の歴史』,pp.34-35,共立出版.
・中村滋・室井和男（2015）『数学史ーー数学5000年の歩み』,pp.135-137,共立出版.
・三浦伸夫・三宅克哉監訳,久村典子訳（2018）『メルツバッハ＆ボイヤー　数学の歴史Ⅰー数学の萌芽から17世紀前期までー』,pp.198-199,朝倉書店.
・中村滋（2019）『ずかん　数字』,pp.70-77,技術評論社.
・ジョニー・ボール著,水谷淳訳（2018）『数学の歴史物語』,pp.167-183,SB Creative.

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