無限多重根号①(解法編)

大学・一般数学式と計算大学・一般数学

 根号(\( \sqrt{\quad}\))の中に根号(\( \sqrt{\quad}\))、さらにその中にも根号(\( \sqrt{\quad}\))・・・。
 高校数学では二重根号まで習いますが、今回は無限に根号の中に根号がある式の値を求めます。
Ⅰ 無限多重根号とは
Ⅱ はさみうちによる解法
Ⅲ 置き換えによる解法
 この記事は①(解法編)と「②(計算結果編)」の二部作です。


目次
  • 1. Ⅰ 無限多重根号とは
  • 2. Ⅱ はさみうちによる解法
  • 3. Ⅲ 置き換えによる解法

Ⅰ 無限多重根号とは

 数学Ⅰで、二重根号の外し方を習いました。具体的には、
\begin{align}
&\sqrt{8+2\sqrt{15}} \\
&=\sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2} \\
&=\sqrt{5}+\sqrt{3}
\end{align}
 というような形でした。
 
 また、少し難しい形になると、
\begin{align}
&\sqrt{5-\sqrt{21}} \\
\\
&=\displaystyle \sqrt{\frac{10-2\sqrt{21}}{2}} \\
\\
&=\sqrt{\frac{(\sqrt{7}-\sqrt{3})^2}{2}} \\
\\
&=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \\
\\
&=\frac{\sqrt{14}-\sqrt{6}}{2} \\
\end{align}
 というところまで学んでいます。
 
 今回は"二重"ではなく、“無限多重"ですので、根号の中に根号が無限に並んでいく式を考えていきます。
 具体的に、今回解いていく式は次のようなものです。

例題

 次の値を求めなさい。
\begin{equation}
\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}
\end{equation}

 これが延々と連なっていきますので、この値がいくつになるのかは見当つきませんよね。
 
 しかし、とある計算方法を施していけば、この式の値が求まり、しかもきれいな数値が出てきます。
 
 では、実際に計算していきましょう。


Ⅱ はさみうちによる解法

 まずは「はさみうちの原理」による解法です。先ほどの無限多重根号の式を 数列 として考えてあげます。

解法

 漸化式 \(~a_{n}=\sqrt{2+a_{n-1}},a_{0}=0~\) を考える。
 この数列 \(~\{ a_{n} \}~\) は、
\begin{align}
a_{1}&=\sqrt{2} \\
a_{2}&=\sqrt{2+\sqrt{2}} \\
a_{3}&=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}} \\
a_{4}&=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}} \\
\end{align}
となるため、

\begin{equation}
\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}
\end{equation}


\begin{align}
\displaystyle &\lim_{n \to \infty}a_{n} \\
&=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}
\end{align}

を求めればよい。
 
 ここで、特性方程式 \(~X=\sqrt{2+X}~\) を考える。
 特性方程式の両辺を2乗して、 \(~X~\) を求めると
\begin{align}
X^2&=2+X \\
X^2-X-2&=0 \\
(X-2)(X+1)&=0 \\
X&=-1, 2
\end{align}
となり、特性方程式の右辺は \(~\sqrt{2+X}~\) であるため、 \(~X \ge 0~\) 。
 したがって、 \(~X=2~\) である。
 
 そこで、数列 \(~\{ a_{n}-2 \}~\) の絶対値を考えていくと、

\begin{align}
|a_{n}-2|&=|\sqrt{2+a_{n-1}}-2| \\
\\
&=\displaystyle \left| \frac{(\sqrt{2+a_{n-1}}-2)(\sqrt{2+a_{n-1}}+2)}{\sqrt{2+a_{n-1}}+2} \right| \\
\\
&=\left| \frac{2+a_{n-1}-4}{\sqrt{2+a_{n-1}}+2} \right|\\
\\
&=\left| \frac{a_{n-1}-2}{\sqrt{2+a_{n-1}}+2} \right| \\
\\
&=\left| \frac{1}{\sqrt{2+a_{n-1}}+2}(a_{n-1}-2) \right| \\
\end{align}


\begin{align}
&| a_{n}-2 |
\\
&=| \sqrt{2+a_{n-1}}-2 | \\
\\
&=\displaystyle \left| \frac{(\sqrt{2+a_{n-1}}-2)(\sqrt{2+a_{n-1}}+2)}{\sqrt{2+a_{n-1}}+2} \right| \\
\\
&=\left| \frac{2+a_{n-1}-4}{\sqrt{2+a_{n-1}}+2} \right| \\
\\
&=\left| \frac{a_{n-1}-2}{\sqrt{2+a_{n-1}}+2} \right| \\
\\
&=\left| \frac{1}{\sqrt{2+a_{n-1}}+2}(a_{n-1}-2) \right| \\
\end{align}

ここで、 \(~\sqrt{2+a_{n-1}} > 0~\) より、
\begin{equation}
\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2+a_{n-1}}+2} < \frac{1}{2} \end{equation} が成り立つので、 \begin{equation} \displaystyle |a_{n}-2| < \frac{1}{2} |a_{n-1}-2| \end{equation} が言える。
 

 この式を繰り返し使っていくと、
\begin{align}
\displaystyle \left| a_{n}-2 \right| & < \frac{1}{2} \left| a_{n-1}-2 \right| \\ \\ & < \frac{1}{2^2} \left| a_{n-2}-2 \right| \\ \\ & < \frac{1}{2^3} \left| a_{n-3}-2 \right| \\ \\ & \cdots \\ \\ \\ & < \frac{1}{2^{n}} \left| a_{0}-2 \right| \\ \\ &= \frac{1}{2^{n}} \left| 0-2 \right| \\ \\ &=\frac{1}{2^{n}} \cdot 2 \\ \\ &=\frac{1}{2^{n-1}} \end{align}  以上をまとめると、 \begin{equation} 0 < \displaystyle \left| a_{n}-2 \right| < \frac{1}{2^{n-1}} \end{equation} となり、 \(~\displaystyle \lim_{n \to \infty}{\frac{1}{2^{n-1}}}=0~\) であることから、はさみうちの原理より \begin{equation} \displaystyle \lim_{n \to \infty}{\left| a_{n}-2 \right|}=0 \end{equation} したがって、 \begin{equation} \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}=2 \end{equation} が求まった。 \(~\blacksquare~\)

 求めたい式を、数列と極限を使って表し、漸化式をうまく式変形することで、はさみうちが適用できる形になるという技巧的な方法でした。


Ⅲ 置き換えによる解法

 もう1つの解法は、厳密さには多少欠けますが、直感的にわかりやすい方法です。

解法

 求めたい式を
\begin{equation}
x=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}
\end{equation}
とおく。(厳密には、右辺が収束することを証明する必要があります。)
 
 このとき、式が無限に続くことを利用して次のように変形できる。
\begin{align}
x&=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}} \\
\\
&=\sqrt{2+\left( \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}} \right) } \\
\\
&=\sqrt{2+x} \\
\end{align}
 したがって、
\begin{align}
x&=\sqrt{2+x} \\
x^2&=2+x \\
x^2-x-2&=0 \\
(x-2)(x+1)&=0 \\
x&=-1,2
\end{align}
 この方程式の右辺は \(~\sqrt{2+x} ~\) であるため、 \(~x \ge 0~\) 。
 
 以上より、 \(~x=2~\) と求まった。 \(~\blacksquare~\)

 どちらの方法にせよ、

\begin{equation}
\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}=2
\end{equation}
が求まりました。
 
 無限に根号と \(~2~\) が続いていくのに、結局は \(~2~\) に等しくなるなんて、根号の無駄撃ちですね。(笑)
 
 今回は根号の中の数が \(~2~\) でしたが、他の数のときにはどんな値になるのかを次回調べてみます。
 
 興味があれば、「無限多重根号②(計算結果編)」もご覧ください。


 もし、これが有限だったら・・・。それこそ計算できません。無限だから計算できるのです。

   
 
 


◇参考文献等
・「無限多重根号の不思議」,<http://azisava.sakura.ne.jp/math/nested_radical.html > 2019年3月31日アクセス