無限多重根号①（解法編）

　漸化式 $~a_{n}=\sqrt{2+a_{n-1}},a_{0}=0~$ を考える。
　この数列 $~\{ a_{n} \}~$ は、
\begin{align}
a_{1}&=\sqrt{2} \\
a_{2}&=\sqrt{2+\sqrt{2}} \\
a_{3}&=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}} \\
a_{4}&=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}} \\
\end{align}
となるため、

\begin{equation}
\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}
\end{equation}

\begin{align}
\displaystyle &\lim_{n \to \infty}a_{n} \\
&=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}
\end{align}

を求めればよい。
 
　ここで、特性方程式 $~X=\sqrt{2+X}~$ を考える。
　特性方程式の両辺を２乗して、 $~X~$ を求めると
\begin{align}
X^2&=2+X \\
X^2-X-2&=0 \\
(X-2)(X+1)&=0 \\
X&=-1, 2
\end{align}
となり、特性方程式の右辺は $~\sqrt{2+X}~$ であるため、 $~X \ge 0~$ 。
　したがって、 $~X=2~$ である。
 
　そこで、数列 $~\{ a_{n}-2 \}~$ の絶対値を考えていくと、

\begin{align}
|a_{n}-2|&=|\sqrt{2+a_{n-1}}-2| \\
\\
&=\displaystyle \left| \frac{(\sqrt{2+a_{n-1}}-2)(\sqrt{2+a_{n-1}}+2)}{\sqrt{2+a_{n-1}}+2} \right| \\
\\
&=\left| \frac{2+a_{n-1}-4}{\sqrt{2+a_{n-1}}+2} \right|\\
\\
&=\left| \frac{a_{n-1}-2}{\sqrt{2+a_{n-1}}+2} \right| \\
\\
&=\left| \frac{1}{\sqrt{2+a_{n-1}}+2}(a_{n-1}-2) \right| \\
\end{align}

\begin{align}
&| a_{n}-2 |
\\
&=| \sqrt{2+a_{n-1}}-2 | \\
\\
&=\displaystyle \left| \frac{(\sqrt{2+a_{n-1}}-2)(\sqrt{2+a_{n-1}}+2)}{\sqrt{2+a_{n-1}}+2} \right| \\
\\
&=\left| \frac{2+a_{n-1}-4}{\sqrt{2+a_{n-1}}+2} \right| \\
\\
&=\left| \frac{a_{n-1}-2}{\sqrt{2+a_{n-1}}+2} \right| \\
\\
&=\left| \frac{1}{\sqrt{2+a_{n-1}}+2}(a_{n-1}-2) \right| \\
\end{align}

ここで、 $~\sqrt{2+a_{n-1}} > 0~$ より、
\begin{equation}
\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2+a_{n-1}}+2} < \frac{1}{2} \end{equation} が成り立つので、 \begin{equation} \displaystyle |a_{n}-2| < \frac{1}{2} |a_{n-1}-2| \end{equation} が言える。
 

　この式を繰り返し使っていくと、
\begin{align}
\displaystyle \left| a_{n}-2 \right| & < \frac{1}{2} \left| a_{n-1}-2 \right| \\ \\ & < \frac{1}{2^2} \left| a_{n-2}-2 \right| \\ \\ & < \frac{1}{2^3} \left| a_{n-3}-2 \right| \\ \\ & \cdots \\ \\ \\ & < \frac{1}{2^{n}} \left| a_{0}-2 \right| \\ \\ &= \frac{1}{2^{n}} \left| 0-2 \right| \\ \\ &=\frac{1}{2^{n}} \cdot 2 \\ \\ &=\frac{1}{2^{n-1}} \end{align} 　以上をまとめると、 \begin{equation} 0 < \displaystyle \left| a_{n}-2 \right| < \frac{1}{2^{n-1}} \end{equation} となり、 $~\displaystyle \lim_{n \to \infty}{\frac{1}{2^{n-1}}}=0~$ であることから、はさみうちの原理より \begin{equation} \displaystyle \lim_{n \to \infty}{\left| a_{n}-2 \right|}=0 \end{equation} したがって、 \begin{equation} \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n}=2 \end{equation} が求まった。 $~\blacksquare~$

　求めたい式を
\begin{equation}
x=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}
\end{equation}
とおく。（厳密には、右辺が収束することを証明する必要があります。）
 
　このとき、式が無限に続くことを利用して次のように変形できる。
\begin{align}
x&=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}} \\
\\
&=\sqrt{2+\left( \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}} \right) } \\
\\
&=\sqrt{2+x} \\
\end{align}
　したがって、
\begin{align}
x&=\sqrt{2+x} \\
x^2&=2+x \\
x^2-x-2&=0 \\
(x-2)(x+1)&=0 \\
x&=-1,2
\end{align}
　この方程式の右辺は $~\sqrt{2+x} ~$ であるため、 $~x \ge 0~$ 。
 
　以上より、 $~x=2~$ と求まった。 $~\blacksquare~$