無理数の無理数乗

　無理数の無理数乗は無理数であると仮定する。
 
　 $~\sqrt{2}^{\sqrt{2}}~$ は、無理数の無理数乗のため、仮定より無理数となる。・・・①

　次に、 $~\left( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \right)^{\sqrt{2}}~$ を考える。
$~\left( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \right)~$ は、①より無理数である。

ということは、 $~\left( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \right)^{\sqrt{2}}=(無理数)^{\sqrt{2}} ~$ の形で、無理数の無理数乗になるため、仮定より $~\left( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \right)^{\sqrt{2}}~$ も無理数である。・・・②

　しかし、実際に計算をしてみると、
\begin{align}
\left( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \right)^{\sqrt{2}}
&=\left( \sqrt{2} \right)^{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} \\
&=\left( \sqrt{2} \right)^{2} \\
&=2
\end{align}
となり、有理数となる。よって②と矛盾。
 
無理数の無理数乗が必ずしも無理数にならないことが示された。 $~\blacksquare$

　無理数の無理数乗の例として、 $~e^{\log_{e}{2}} $を考えます。この値を $~x~$ とすると、
\begin{align}
x&=e^{\log_{e}{2}} \\
\log_{e}{x}&=\log_{e}{e^{\log_{e}{2}}} \\
\log_{e}{x}&=\log_{e}{2} \\
x&=2
\end{align}
よって、 $~e^{\log_{e}{2}}=2 $となり、無理数の無理数乗が有理数になる例が示されたため、題意は示された。 $~\blacksquare~$