ラングレーの問題

約100年前にEdward Mann Langleyによって出題された幾何の問題です。簡単なようですが、補助線なしでは解けません。補助線をどう使うかが鍵となります。


1922年の『The Mathematical Gazette』10月号に、ラングレー(Langley)によって出題された幾何の問題。日本では、1967年に初めて出題されました。

ラングレーの問題

ラングレーの問題の図形

 

△CABはCA=CBの二等辺三角形である。

このとき、∠EDAの大きさを求めなさい。


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DB上に∠FAB=20°となるような点Fをとり、BF、EFを結ぼう。すると、△BEF、△BCF、△FEDはどのような三角形でしょうか・・。[/wpex]


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解答

\begin{equation}
∠EDA=30°
\end{equation}

 上のようにきれいな答えになります。いろいろ解き方はありますが、二等辺三角形を利用しまくる方法を紹介します。

解説

△CABは二等辺三角形なので、底角は等しい。
そのため、∠CAB=∠CBA=80°

そこで、DB上に∠FAB=20°となるような点Fをとり、FとEを結ぶ。
ラングレー解説1
すると、△ABFで、∠ABF=∠AFB=80°となり、△ABFは二等辺三角形となる。
よって、AB=AF・・・①

また、△ABEで、∠ABE=∠AEB=50°より、△ABEは二等辺三角形となる。
よって、AB=AE・・・②

△AEFで、∠EAF=60°、①,②よりAE=AFとなるため、△AEFは正三角形となる。
よって、EF=AF・・・③
ラングレー解説2
△FADで、∠FAD=∠FDA=40°となるので、△FADは二等辺三角形。
よって、AF=DF・・・④

③、④より、EF=DFとなるため、△FEDは二等辺三角形。
 
∠DFE=40°であるため、∠FDE=70°である。
∠FDA=40°であったため、∠EDA=70°-40°=30°となる。

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約100年前の雑誌の問題が今に伝わっていることからわかるように、難問ですね。いろいろな解法があるようですよ。

   
 
 

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