数学Ｂ

　\(~\displaystyle a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k~\)。これを計算した後に、\(~n=1~\)でも成り立つかの検算をしますが、今回はそれを行う理由と、\(~n=1~\)で成り立たない数列の例を紹介します。
Ⅰ　\(~n=1~\)を確かめる理由
Ⅱ　\(~n=1~\)でほぼ成り立つ理由
Ⅲ　\(~n=1~\)で成り立たない例

　数学的帰納法を用いて証明できる、おもしろいパラドックスを紹介します。
Ⅰ　パラドックスの内容
Ⅱ　パラドックスの回避

　 \(~n~\) 段の階段を下りるときに、一段下りるか、二段下りる（一段飛ばし）かを組み合わせると、全部で何通りの下り方があるのか？
この問いが「浜村渚」シリーズで出てきたので、実際に計算してみました。
Ⅰ　問題
Ⅱ　解法

漸化式を解く際に有効な手段として、特性方程式の解を使って式変形をする方法があります。なぜ特性方程式の解が式変形の上で有効なのかを証明してみました。
Ⅰ　二項間漸化式と特性方程式
Ⅱ　三項間漸化式と特性方程式

ナポレオンの定理は、フランスの皇帝ナポレオンが自ら見つけた定理と言われています。
余弦・正弦定理や加法定理を使い、計算によって証明しました。
①ナポレオンの定理とは
②証明

シグマ記号\( \sum \)の公式について紹介します。高校数学で習う\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}1, \sum_{k=1}^{n}k ,\sum_{k=1}^{n}k^2 ,\sum_{k=1}^{n}k^3 \)だけでなく、\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^4 \)以降の求め方や\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{10} \)までの公式も載せています。

①高校数学までの\( \sum \)公式
②\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^4 \)の求め方
③\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{10} \)までの公式

コイントスとその賞金に関するパラドックスで、期待値による考えが、現実の感覚と相反する場合があることを示しています。
①パラドックスの内容
②パラドックスの回避

確率と初期値、どちらを優先すべきかがわかる問題です。少々難しいですが、確率漸化式として求めることができます。