折れ線の最短距離

中1数学平面図形中1数学

 折れ線の最短距離は、線対称な位置に点をずらし、直線で結ぶことで求まります。
 この記事では、なぜその作図方法が最短になるのかを証明します。
Ⅰ 最短距離の作図方法
Ⅱ 最短になる理由


目次
  • 1. Ⅰ 最短距離の作図方法
  • 2. Ⅱ 最短になる理由

Ⅰ 最短距離の作図方法

 今回扱う問題は、次のような問題です。

水汲み問題

 A君は家を出発して川で水を汲んでからB君の家に向かうことにした。川のどこで水を汲めば、道のりが最も短くなるでしょうか。
家と川

 紫のルートだと、川までの距離は近いけど、その後の距離が長くなり、
 緑のルートだと、水を汲んだ後は近いけど、川までの距離が長くなります。
 
 川までの距離、水を汲んでからの距離が均等そうなのは、赤のルートですが、必ずしも他のルートより短いという保証はありません。
 
 解き方を知らないと、なかなか難しい問題だと思います。
 
 この問題を考えるにあたって、数学チックな問題の書き方にすると、次のような問題になります。

折れ線の最短距離

 2点 \(~A,B~\) が直線 \(~XY~\) に関して同じ側にあるとき、 \(~XY~\) 上の点 \(~P~\) で、 \(~AP+PB~\) が最も小さくなる点を求めなさい。

 求め方に関しては中1の教科書にも載っているレベルですが、原理まできちんと考えると高1(数A)レベルの問題です。
 この問題を見たことが無い、解き方を忘れた人は是非考えてみてください。
 
 
 
 
 ということで、解答を示します。

解答

・解答1
 直線 \(~XY~\) に関して、 \(~A~\) と対称な点を \(~A’~\) とし、線分 \(~A’B~\) と \(~XY~\) の交点を \(~P~\) とすればよい。

 
・解答2
 直線 \(~XY~\) に関して、 \(~B~\) と対称な点を \(~B’~\) とし、線分 \(~AB’~\) と \(~XY~\) の交点を \(~P~\) とすればよい。

  \(~A~\) か \(~B~\) を直線 \(~XY~\) に関して対称移動させ、もう一方の点と結んであげれば \(~P~\) の位置が決まるということですね。
 
 では、なぜこのような作図で求まった \(~P~\) のとき、 \(~AP+PB~\) が最短になるのでしょうか?
 この疑問をあの関係式を使って解決していきましょう。


Ⅱ 最短になる理由

 証明で使う重要な関係式は、高1(数A)で登場する「三角不等式」です。
 今回は先ほどの解答1のパターンについて証明します。(解答2のほうも同様に証明できます)

Pが最短となる理由

 先ほどの図において、 \(~AP~\) を結ぶ。
 
 このとき、合同な三角形(2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい)であることから、 \(~AP=A’P~\) となる。・・・①
 
 次に、直線 \(~XY~\) 上に、 \(~P~\) と異なる点 \(~P’~\) を作る。
 
 このとき、合同な三角形(2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい)であることから、 \(~AP’=A’P’~\) となる。・・・②
 
  \(~AP+PB~\) が最短となるためには、 \(~AP+PB < AP'+P'B~\) を示せばよい。
 
 ①より、 \(~AP+PB=A’P+PB=A’B~\) ・・・③。
 ②より、 \(~AP’+P’B=A’P’+P’B~\) ・・・④。

  \(~\triangle A’P’B~\) において三角不等式を使うと、
\begin{equation}
A’B < A'P'+P'B \end{equation} ③、④より、 \begin{equation} AP+PB < AP'+P'B \end{equation} が示された。 \(~\blacksquare~\)

  \(~P~\) 以外のどこに点 \(~P’~\) を打っても、 \(~P~\) を経由したほうが短いことが示せたので、 \(~AP+PB~\) が最短ということになります。
 
 三角不等式を使うことで、簡単に証明できました。


 三角不等式、こういった場面でも役に立つんですね!!

 
 
 
 


◇参考文献等
・(2016)『新しい数学1』,p.149,東京書籍.

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Posted by Fuku