マチンの公式

大学・一般数学式と計算大学・一般数学

1706年、イギリスのジョン・マチンによって示された公式です。非常に収束速度が速い級数が使われていて、円周率の \(~\displaystyle \frac{1}{4}~\) の値を求めることができるため、ジョン・マチンは円周率の近似値を100ケタまで計算しました。戦後のコンピュータによる円周率計算でも使われた公式です。
①マチンの公式
②証明
③円周率の近似計算



目次
  • 1. ①マチンの公式
  • 2. ②証明
  • 3. ③円周率の近似計算

①マチンの公式

マチンの公式は1706年、イギリスのジョン・マチンによって発見されました。
まずはどのような式なのかを見てみます。

マチンの公式

\begin{equation}
\displaystyle \frac{\pi}{4}=4\tan^{-1}\frac{1}{5}-tan^{-1}\frac{1}{239}
\end{equation}

\(~\tan~\) の逆関数が使われています。右辺の \(~\tan^{-1}~\) の部分をグレゴリー級数によってそれぞれ表すと、

\begin{equation}
\displaystyle \tan^{-1}\frac{1}{5}=\frac{1}{5}-\frac{1}{3}\cdot \left( \frac{1}{5} \right) ^3+\frac{1}{5}\cdot \left( \frac{1}{5} \right) ^5 – \cdots \\
\end{equation}
\begin{multline}
tan^{-1}\frac{1}{239}=\frac{1}{239}-\frac{1}{3}\cdot \left( \frac{1}{239} \right) ^3 \\
+\frac{1}{5}\cdot \left( \frac{1}{239} \right) ^5 – \cdots \\
\end{multline}
となります。つまり、このマチンの公式を \(~ \sum~\) を使って表すと、
\begin{align}
\displaystyle &\frac{\pi}{4}=\sum_{n=0}^{\infty}\left\{ 4 \cdot \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \cdot \left( \frac{1}{5} \right)^{2n+1} \right\} \\
\\
&+\sum_{n=0}^{\infty}\left\{\frac{(-1)^{n+1}}{2n+1} \cdot \left( \frac{1}{239} \right)^{2n+1} \right\}
\end{align}


\begin{align}
\displaystyle \tan^{-1}\frac{1}{5}&=\frac{1}{5}-\frac{1}{3}\cdot \left( \frac{1}{5} \right) ^3+\frac{1}{5}\cdot \left( \frac{1}{5} \right) ^5 – \cdots \\
\\
tan^{-1}\frac{1}{239}&=\frac{1}{239}-\frac{1}{3}\cdot \left( \frac{1}{239} \right) ^3 +\frac{1}{5}\cdot \left( \frac{1}{239} \right) ^5 – \cdots \\
\end{align}
となります。つまり、このマチンの公式を \(~ \sum~\) を使って表すと、
\begin{equation}
\displaystyle \frac{\pi}{4}=\sum_{n=0}^{\infty}\left\{ 4 \cdot \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \cdot \left( \frac{1}{5} \right)^{2n+1}+\frac{(-1)^{n+1}}{2n+1} \cdot \left( \frac{1}{239} \right)^{2n+1} \right\}
\end{equation}

右辺の計算がものすごく大変そうです・・・(笑)
実際の計算は、③円周率の近似計算でやるとして、先にこの公式の証明を見てみましょう。


②証明

証明は \(~\tan ~\) の加法定理を使いまくります。

証明

\( \displaystyle \tan{a}=\frac{1}{5} ~\)(\(~ \displaystyle 0 < a < \frac{\pi}{2} \))となる定数 \(~a~\) をとる。
\(~\tan \)の加法定理によって、 \(~\tan{2a}~\) を考えると、
\begin{align}
\tan{2a}&=\tan{(a+a)} \\
\\
&=\displaystyle \frac{\tan{a}+\tan{a}}{1-\tan{a}\cdot \tan{a}} \\
\\
&=\frac{2\tan{a}}{1-\tan^{2} a} \\
\\
&=\frac{\frac{2}{5}}{1-\frac{1}{25}} \\
\\
&=\frac{10}{25-1} \\
\\
&=\frac{5}{12}
\end{align}
となる。この値を使って、同様に \(~\tan{4a}~\) を考えると、
\begin{align}
\tan{4a}&=\tan{(2a+2a)} \\
\\
&=\displaystyle \frac{\tan{2a}+\tan{2a}}{1-\tan{2a}\cdot \tan{2a}} \\
\\
&=\frac{2\tan{2a}}{1-\tan^{2} 2a} \\
\\
&=\frac{\frac{5}{6}}{1-\frac{25}{144}} \\
\\
&=\frac{120}{144-25} \\
\\
&=\frac{120}{119}
\end{align}
となる。さらに、この値を使って、 \(~\displaystyle \tan{\left( 4a-\frac{\pi}{4} \right)}~\) の加法定理を考えると、
\begin{align}
\displaystyle \tan{\left( 4a-\frac{\pi}{4} \right)}&=\frac{\tan{4a}-\tan{\frac{\pi}{4}}}{1+\tan{4a}\tan{\frac{\pi}{4}}} \\
\\
&=\frac{\frac{120}{119}-1}{1+\frac{120}{119}} \\
\\
&=\frac{120-119}{119+120} \\
\\
&=\frac{1}{239}
\end{align}
となる。従って、
\begin{equation}
\displaystyle 4a-\frac{\pi}{4}=\tan^{-1}\frac{1}{239}
\end{equation}
となり、\( \displaystyle a=\tan^{-1}\frac{1}{5} \)(\( \because \displaystyle \tan{a}=\frac{1}{5} \))を代入することで、
\begin{equation}
\displaystyle 4\tan^{-1}\frac{1}{5}-\frac{\pi}{4}=\tan^{-1}\frac{1}{239}
\end{equation}
が得られる。あとはこれを式変形することで、マチンの公式
\begin{equation}
\displaystyle \frac{\pi}{4}=4\tan^{-1}\frac{1}{5}-\tan^{-1}\frac{1}{239}
\end{equation}
が得られる。 \(~\blacksquare \)

最後に\( \tan ~\) の逆関数を使っていますが、基本的には数Ⅱの三角関数の知識で求められます。


③円周率の近似計算

マチンの公式は、①マチンの公式で示した通り、右辺を \(~\tan~\) を使わずに表すことができます。では、右辺をどのくらい計算したら円周率 \(~\pi~\) に近づけるのでしょうか。

マチンの公式による計算

円周率\(\pi~\) は、マチンの公式を利用して次のように表せる。

\begin{equation}
\displaystyle \pi=4\left[\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n}\left\{ 4 \cdot \frac{(-1)^{k+1}}{2k-1} \cdot \left( \frac{1}{5} \right)^{2k-1}+\frac{(-1)^{k}}{2k-1} \cdot \left( \frac{1}{239} \right)^{2k-1} \right\} \right]
\end{equation}


\begin{align}
\displaystyle \pi&=4 \sum_{k=1}^{\infty}\left\{ 4 \cdot \frac{(-1)^{k+1}}{2k-1} \cdot \left( \frac{1}{5} \right)^{2k-1} \right\} \\
\\
&+4 \sum_{k=1}^{\infty}\left\{ \frac{(-1)^{k}}{2k-1} \cdot \left( \frac{1}{239} \right)^{2k-1} \right\}
\end{align}

この式はマチンの公式を \(~\pi~\) について解き、右辺を少し変形したものです。 \(~n~\) を1ずつ増やして、 \(~\pi~\) の値を実際に計算してみます。

\(~n=1~\) のとき

\begin{align}
\displaystyle \pi&=4 \left[ \frac{4}{5}-\frac{1}{239} \right] \\
\\
&=4 \left[ \frac{956}{1195}-\frac{5}{1195} \right] \\
\\
&=4 \cdot \frac{951}{1195} \\
\\
&=\frac{3804}{1195} \\
\\
&=3.183263598326
\end{align}
\(~n=1~\) の誤差は0.041670944736
いきなり3.1まで出てきました。通分は面倒でしたが、速い!!

\(~n=2~\) のとき


\begin{align}
\displaystyle \pi&=4 \left[ 4 \left\{ \frac{1}{5}-\frac{1}{3}\cdot \left( \frac{1}{5} \right)^3 \right\}-\left\{ \frac{1}{239}-\frac{1}{3}\cdot \left( \frac{1}{239} \right)^3 \right\} \right] \\
\\
&=4 \left[ 4 \left\{ \frac{1}{5}-\frac{1}{375} \right\} -\left\{ \frac{1}{239}-\frac{1}{40955757} \right\} \right] \\
\\
&=4 \left[ 4 \left\{ \frac{75}{375}-\frac{1}{375} \right\}-\left\{ \frac{171363}{40955757}-\frac{1}{40955757} \right\} \right] \\
\\
&=4 \left[ 4 \left\{ \frac{74}{375} \right\} -\left\{ \frac{171362}{40955757} \right\} \right] \\
\\
&=4 \left[ \frac{296}{375} – \frac{171362}{40955757} \right] \\
\\
&=4 \left[ \frac{4040968024}{5119469625} – \frac{21420250}{5119469625} \right] \\
\\
&=4 \left[ \frac{4019547774}{5119469625} \right] \\
\\
&=\frac{16078191096}{5119469625} \\
\\
&=3.140597029326 \\
\end{align}
\(~n=2~\) の誤差は0.000995624263
面倒くさーい。でも、3.14が登場しました。


\begin{align}
\displaystyle \pi&=4 \left[ 4 \left\{ \frac{1}{5}-\frac{1}{3}\cdot \left( \frac{1}{5} \right)^3 \right\} \right] \\
\\
&-4 \left[ \left\{ \frac{1}{239}-\frac{1}{3}\cdot \left( \frac{1}{239} \right)^3 \right\} \right] \\
\\
&=4 \left[ 4 \left\{ \frac{1}{5}-\frac{1}{375} \right\} \right] \\
\\
&-4 \left[ \left\{ \frac{1}{239}-\frac{1}{40955757} \right\} \right] \\
\\
&=4 \left[ 4 \left\{ \frac{75}{375}-\frac{1}{375} \right\} \right] \\
\\
&-4 \left[ \left\{ \frac{171363}{40955757}-\frac{1}{40955757} \right\} \right] \\
\\
&=4 \left[ 4 \left\{ \frac{74}{375} \right\} -\left\{ \frac{171362}{40955757} \right\} \right] \\
\\
&=4 \left[ \frac{296}{375} – \frac{171362}{40955757} \right] \\
\\
&=4 \left[ \frac{4040968024}{5119469625} – \frac{21420250}{5119469625} \right] \\
\\
&=4 \left[ \frac{4019547774}{5119469625} \right] \\
\\
&=\frac{16078191096}{5119469625} \\
\\
&=3.140597029326 \\
\end{align}
\(~n=2~\) の誤差は0.000995624263
面倒くさーい。でも、3.14が登場しました。

ここからはエクセル様で計算しました。

\(n\) 円周率の近似値 誤差
3 3.141621029325 0.000028375735
4 3.141591772182 0.000000881407
5 3.141592682404 0.000000028814
6 3.141592652615 0.000000000974
7 3.141592653623 0.000000000033
8 3.141592653588 0.000000000001

あっという間に小数第11位まで正確な値が求まりました。
計算が大変な分、収束速度も速いです。
一応、 \(~n=10~\) までの様子をグラフにしたものを載せておきます。

速攻で \(~\pi~\) のグラフと重なりました。


計算は面倒ですが、とにかく収束速度が速いです。確かにコンピュータが使える世の中になれば、計算の面倒さという課題も解決できるため、近似値を求めるのに有効ですね。ただ、手計算で100ケタまで計算したマチンさんって・・・スゴい!

   
 
 


☆参考文献等
・「Wikipedia マチンの公式」,<https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%83%81%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F> 2017年3月28日アクセス
・「Wikipedia 円周率の歴史」,<https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87%E3%81%AE%E6%AD%B4%E5%8F%B2> 2017年3月28日アクセス