a < x < bの最大値と最小値

数Ⅰでひっかかりやすい最大値・最小値の話です。
Ⅰ  $~a < x < b~$ の最大値・最小値


目次

Ⅰ  $~a < x < b~$ の最大値・最小値

 まずは次の問題を見てみましょう。

問題

  $~2 < x < 5~$ における実数 $~x~$ の最大値と最小値をそれぞれ求めなさい。

 実はこれ、高校生がよく間違える問題です。最大値は $~5~$ 、最小値は $~2~$ と答えてしまう生徒が非常に多いです。でも実際の答えは次の通り ↓↓

解答

実数 $~x~$ の最大値と最小値はそれぞれ存在しない

 
 実は不等号が $~<~$ や $~>~$ で定まっている範囲(開区間)における変数の最大値と最小値は存在しないのです。
少々不思議ですが、その理由を考えてみましょう。
 

感覚的な理由

 最大値について考える。
$~x~$ は5より小さいので、変域内の $~x~$ で大きい数として4.9が挙げられる。
しかし、条件を満たす $~x~$ の中でも、4.9よりも4.99のほうが大きい。
さらに、4.99よりも4.999のほうが大きい。
 この議論が永遠と繰り返されるため、最大値は定まらない。よって、最大値は存在しない。 $~\blacksquare~$

 厳密な証明ではないですが、背理法を習っていない段階においては、この方法しかないかなぁと思います。
 
 もう1つは背理法を使った数学的な証明です。

数学的な理由

 最大値について考える。
$~2 < x < 5~$ における実数 $~x~$ の最大値が存在すると仮定し、その最大値を $~m~$ とする。 ここで、 $~m~$ と $~5~$ の平均 $~M~$ を考えると、 \begin{equation} \displaystyle M=\frac{m+5}{2} \end{equation} であり、この $~M~$ について、次の不等式が成り立つ。 \begin{equation} 2 < m < M < 5 \end{equation} よって、 $~M~$ も $~2 < x < 5~$ を満たしているが、この範囲の最大値である $~m~$ よりも大きいため矛盾。   以上より、 $~2 < x < 5~$ における実数 $~x~$ の最大値は存在しない。 $~\blacksquare~$

背理法を習った後であれば、この説明は効果的です。最小値も同様の方法で示せるので考えてみてください。


今まで授業中に最大・最小の話をするときは「感覚的な説明」で片付けていましたが、「数学的な説明」も今度はしてみようと思います。多分理解してくれるはず!!

   
 
 


◇参考文献等

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