平均値の定理

　 $~f(x)=x^2(a=-1,b=3)~$ の場合

　閉区間 $~[-1,3]~$ で連続、開区間 $~(-1,3)~$ で微分可能であるため、ラグランジュの平均値の定理より、

\begin{align}
f'(c)&=\displaystyle \frac{f(3)-f(-1)}{3-(-1)} \\
\\
&=\frac{9-1}{4} \\
\\
&=2
\end{align}
を満たす $~c \in (-1,3)~$ が存在する。
 
　実際、 $~f'(x)=2x~$ より、 $~c=1~$ のとき $~f'(1)=2~$ を満たしている。

　 $~f(x)=\sin{x}(a=0,b=2\pi)~$ の場合

　閉区間 $~[0,2\pi]~$ で連続、開区間 $~(0,2\pi)~$ で微分可能であるため、ラグランジュの平均値の定理より、

\begin{align}
f'(c)&=\displaystyle \frac{f(2\pi)-f(0)}{2\pi-0} \\
\\
&=\frac{0-0}{2\pi} \\
\\
&=0
\end{align}
を満たす $~c \in (0,2\pi)~$ が存在する。
 
　実際、 $~f'(x)=\cos{x}~$ より、 $~c=\displaystyle \frac{1}{2}\pi,\frac{3}{2}\pi~$ のとき $~\displaystyle f’\left( \frac{1}{2}\pi \right)=f’\left( \frac{3}{2}\pi \right)=0~$ を満たしている。

　 $~f(x)=\log{x}(a=1,b=e)~$ の場合

　閉区間 $~[1,e]~$ で連続、開区間 $~(1,e)~$ で微分可能であるため、ラグランジュの平均値の定理より、

\begin{align}
f'(c)&=\displaystyle \frac{f(e)-f(1)}{e-1} \\
\\
&=\frac{1-0}{e-1} \\
\\
&=\frac{1}{e-1}
\end{align}
を満たす $~c \in (1,e)~$ が存在する。
 
　実際、 $~f'(x)=\displaystyle \frac{1}{x}~$ より、 $~c=\displaystyle e-1~$ のとき $~\displaystyle f'(e-1)=\frac{1}{e-1}~$ を満たしている。（※ $~e-1 \fallingdotseq 1.718~$

　 $~f(x)=\displaystyle \frac{1}{x}(a=-1,b=1)~$ の場合

\begin{align}
f'(c)&=\displaystyle \frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)} \\
\\
&=\frac{1-(-1)}{2} \\
\\
&=1
\end{align}
となるが、 $~f'(x)=\displaystyle -\frac{1}{x^2} < 0~$ であるため、 $~f'(c)=1~$ を満たす $~c \in (-1,1)~$ は存在しない。

　 $~f(x)=|x|(a=-1,b=3)~$ の場合

\begin{align}
f'(c)&=\displaystyle \frac{f(3)-f(-1)}{3-(-1)} \\
\\
&=\frac{|3|-|-1|}{4} \\
\\
&=\frac{1}{2}
\end{align}
となるが、
\begin{cases}
f'(x)&=1 (x > 0) \\
f'(x)&=-1 (x < 0) \\ \end{cases} であり、 $~x=0~$ では微分できないため、 $~f'(c)=\displaystyle \frac{1}{2}~$ を満たす $~c \in (-1,3)~$ は存在しない。