トレミーの定理

2019 8/12

2019.02.03 2019.08.12

　円に内接する四角形に関する定理です。プトレマイオスの定理とも言います。この定理の使用例や証明方法を紹介します。
Ⅰ　トレミーの定理
 Ⅱ　例
 Ⅲ　証明

Ⅰ　トレミーの定理

　まずはどんな定理なのかを見てみましょう。

トレミーの定理

　円に内接する任意の四角形ABCDについて、次の等式が成り立つ。
\begin{equation}
AC \times BD=AB \times CD + BC \times DA
\end{equation}

　日本語で書くと、

　２本の対角線の積は、２組の対辺の積の和に等しい

ということを表しています。
　色分けして見やすくすると、次のようになります。

$AC \times BD$ $~=~$ $AB \times CD$ $~+~$ $BC \times DA$

　「任意の」内接四角形に関して成り立つのがすごいですね。

Ⅱ　例

　こんな問題で使えます。

例

　1辺の長さが $~a~$ の正七角形 ABCDEFG において、AC$=b$、AE$=c~$ とする。このとき、
\begin{equation}
\displaystyle \frac{1}{a}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}
\end{equation}
が成り立つことを証明する。

　正七角形ABCDEFGを、円周上に等間隔にとった点A,B,C,D,E,F,Gを順に結んだ図形として見る。
　
　このとき、四角形ABCEは円に内接するため、トレミーの定理より、
\begin{equation}
bc=ac+ab
\end{equation}
が成り立つ。 $~a > 0,b > 0,c > 0~$ より、両辺 $~abc~$ で割ると、
\begin{equation}
\displaystyle \frac{1}{a}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}
\end{equation}
が示された。 $~\blacksquare~$

　トレミーの定理を知っているか知っていないかで、差が出そうな問題でした。

他にも「三平方の定理」を証明したり、黄金比を求めるのにも使えたりと、意外と活躍します。

Ⅲ　証明

　証明に関しては、円周角の定理と相似を使います。

証明

　 $~\angle ABE=\angle DBC~$ となる点EをAC上に作る。

　 $~\triangle ABE~$ と $~\triangle DBC~$ において、
仮定より、 $~\angle ABE=\angle DBC\cdots \cdots~$ ①

円周角の定理より、 $~\angle BAE=\angle BDC\cdots \cdots~$ ②

①、②より、２組の角がそれぞれ等しいので、

　 $~\triangle ABE~$ ∽ $~\triangle DBC$

対応する辺の比は等しいので、
\begin{equation}
AB:DB=AE:DC
\end{equation}
すなわち、
\begin{equation}
AB \times DC =AE \times DB　\cdots \cdots③
\end{equation}

　次に、 $~\triangle ABD$と $~\triangle EBC~$ において、
\begin{align}
\angle ABD&=\angle ABE+\angle EBD \\
\angle EBC&=\angle DBC+\angle EBD \\
\end{align}
から、①より、 $~\angle ABD=\angle EBC\cdots \cdots~$ ④

また、円周角の定理より、 $~\angle BDA=\angle BCE\cdots \cdots~$ ⑤

④、⑤より、２組の角がそれぞれ等しいので、

　 $~\triangle ABD~$ ∽ $~\triangle EBC$

対応する辺の比は等しいので、
\begin{equation}
AD:EC=BD:BC
\end{equation}
すなわち、
\begin{equation}
AD \times BC =EC \times BD　\cdots \cdots⑥
\end{equation}

③＋⑥より、

\begin{align}
AB \times DC +AD \times BC &=AE \times DB +EC \times BD \\
&=(AE+EC) \times BD \\
&=AC \times BD
\end{align}