トレミーの定理

　 \(~\angle ABE=\angle DBC~\) となる点EをAC上に作る。

　 \(~\triangle ABE~\) と \(~\triangle DBC~\) において、
仮定より、 \(~\angle ABE=\angle DBC\cdots \cdots~\) ①

円周角の定理より、 \(~\angle BAE=\angle BDC\cdots \cdots~\) ②

①、②より、２組の角がそれぞれ等しいので、

　 \(~\triangle ABE~\) ∽ \(~\triangle DBC\)

対応する辺の比は等しいので、
\begin{equation}
AB:DB=AE:DC
\end{equation}
すなわち、
\begin{equation}
AB \times DC =AE \times DB　\cdots \cdots③
\end{equation}
 
　次に、 \(~\triangle ABD\)と \(~\triangle EBC~\) において、
\begin{align}
\angle ABD&=\angle ABE+\angle EBD \\
\angle EBC&=\angle DBC+\angle EBD \\
\end{align}
から、①より、 \(~\angle ABD=\angle EBC\cdots \cdots~\) ④

また、円周角の定理より、 \(~\angle BDA=\angle BCE\cdots \cdots~\) ⑤

④、⑤より、２組の角がそれぞれ等しいので、

　 \(~\triangle ABD~\) ∽ \(~\triangle EBC\)

対応する辺の比は等しいので、
\begin{equation}
AD:EC=BD:BC
\end{equation}
すなわち、
\begin{equation}
AD \times BC =EC \times BD　\cdots \cdots⑥
\end{equation}
 
③＋⑥より、

\begin{align}
AB \times DC +AD \times BC &=AE \times DB +EC \times BD \\
&=(AE+EC) \times BD \\
&=AC \times BD
\end{align}

\begin{align}
&AB \times DC +AD \times BC \\
&=AE \times DB +EC \times BD \\
&=(AE+EC) \times BD \\
&=AC \times BD
\end{align}

　よって、題意は示された。 \(~\blacksquare~\)