三平方の定理の証明⑪⑫~相似を利用した簡単な証明をわかりやすく解説! アインシュタインが考案したものも!?~

 三平方の定理の証明は、紀元前からあらゆる人があらゆる方法で考え出してきました。

 この記事では、その中でも相似を利用した簡単な証明方法について、現役数学教員がわかりやすく解説します。

 実は、たった1本の補助線だけで三平方の定理は証明ができるんです!
 しかも、紹介する2つの証明方法のうち、1つは物理学者アインシュタインが少年時代に考案したもの。

 また、中3では相似分野の直後に三平方の定理へと入るので、単元の導入としても扱いやすい証明方法です。

 この記事を読んで、相似と三平方の定理を繋げてしまいましょう。

この記事を読んでわかること
  • 物理学者アインシュタインについて
  • アインシュタインが考案した面積比を用いた証明方法
  • 相似を利用した最も簡単な証明方法

 三平方の定理の内容や、三平方の定理の別証についてはこちらから↓↓

目次

アインシュタインについて

 アルベルト・アインシュタインAlbert Einstein , 1879-1955)は、ドイツ生まれの物理学者です。

<図1> アインシュタイン
(出典:Ferdinand Schmutzer, Public domain, via Wikimedia Commons)

 アインシュタインは1891年12歳のとき、幾何の本を貰い、非常に喜びながら読みふけりました。
 彼はその本を「幾何の小聖書」と呼ぶほど愛着を持っていて、その後三平方の定理についての勉強を必死にしました

 その大変な努力の後、1895年にアインシュタインは面積比に基づく証明方法を考案しました。

<図2> アインシュタインの有名な写真のイラスト

 ちなみに、1905年に発表した特殊相対性理論や、1916年に発表した一般相対性理論といった、彼の代表的な理論の中でも三平方の定理は使われています。

相似を利用した簡単な証明1(アインシュタインの証明)

 必要な補助線は1本だけ!
 非常にシンプルな証明方法です。

三平方の定理の証明⑪

 直角三角形$~ABC~$で、直角をもつ頂点$~C~$から斜辺$~BA~$に向け垂線$~CH~$を引く。

Cから垂線を引いた図
<図3>  Cから垂線を引いた図  

 

 このとき、直角と共通な角より、2組の角がそれぞれ等しいので、

$\triangle ABC~$∽$~\triangle CBH ~~~~\cdots ~①$
$\triangle ABC~$∽$~\triangle ACH ~~~~\cdots ~②$

であり、$①$と$②$をまとめると、

$\triangle ABC~$∽$~\triangle CBH~$∽$~\triangle ACH ~~~~\cdots ~③$

となる。

 これらの直角三角形のそれぞれの斜辺から、相似比は$~c~:~a~:~b~$
 そのため、面積比は $~c^2~:~a^2~:~b^2~$となる。

 したがって、3つの直角三角形の面積は、正の数$~k~$を用いて、

\triangle ABC=c^2k  \\
\triangle CBH=a^2k  \\
\triangle ACH =b^2k

と表せる。

 図3から、 $\triangle ABC=\triangle CBH=\triangle ACH~$であるため、

\begin{align*}
c^2k=a^2k+b^2k  \\
c^2=a^2+b^2
\end{align*}

と三平方の定理が求まった。■

 相似な図形の面積比や体積比が、相似比の2乗、3乗であることは、中3相似分野の最後のほうで習うので、三平方の定理の接続としても扱いやすいです。

 アインシュタインの証明という点も、生徒の興味を惹きやすいですね。

相似を利用した簡単な証明2

 アインシュタインと同じ補助線で、面積比ではなく線分比から証明する方法です。

三平方の定理の証明⑫

 直角三角形$~ABC~$で、直角をもつ頂点$~C~$から斜辺$~BA~$に向け垂線$~CH~$を引く。

Cから垂線を引いた図
<図4> Cから垂線を引いた図

 このとき、直角と共通な角より、2組の角がそれぞれ等しいので、

$\triangle ABC~$∽$~\triangle CBH ~~~~\cdots ~①$
$\triangle ABC~$∽$~\triangle ACH ~~~~\cdots ~②$

である。

 $①$より、

\begin{align*}
AB : CB &= BC : BH \\
BC^2 &= AB \cdot BH \\
a^2 &= c \cdot BH ~~~\cdots ③
\end{align*}

であり、同様に$~②~$より、

\begin{align*}
AB : AC &= AC : AH \\
AC^2 &= AB \cdot AH \\
b^2 &= c \cdot AH ~~~\cdots ④
\end{align*}

が求まる。

 $③~,~④$より、

\begin{align*}
a^2+b^2&=c \cdot BH +c \cdot AH \\
&=c(BH+AH) \\
&=c \cdot AB \\
&=c^2
\end{align*}

と三平方の定理が求まった。■

 この証明方法は多くの書物に掲載されている、三平方の定理の代表的な証明方法です。

 インドのバスカラBhaskara , 1114~1185頃)やイギリスのジョン・ウォリスJohn Wallis , 1616~1703)の証明とも言われています。

ジョン・ウォリス
<図5> ジョン・ウォリス
(出典:After Godfrey Kneller, Public domain, via Wikimedia Commons)

 しかし、古くから存在していたことから、ピタゴラス(Pythagoras , B.C.569頃~B.C.500頃)もこの方法を知っていたのではないかという考え方もあります。


アインシュタインの証明、これだけ単純だと、もっと前に発見されているようにも思えるけど……。

実際、似たような証明はユークリッドの『原論』6巻の命題31にあったよ。

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