三平方の定理の証明⑫(相似を利用した証明2)

中3数学平面図形中3数学

三平方の定理には数百もの証明方法があります。今回は相似を利用した2つ目の証明方法について紹介します。
Ⅰ 三平方の定理とは
Ⅱ 相似を利用した証明2
Ⅲ その他の証明方法


目次
  • 1. Ⅰ 三平方の定理とは
  • 2. Ⅱ 相似を利用した証明2
  • 3. Ⅲ その他の証明方法

Ⅰ 三平方の定理とは

 三平方の定理とは、次のような定理です。

三平方の定理(ピタゴラスの定理)


上のような直角三角形で、次の等式が成り立つ。
\begin{equation}
a^2+b^2=c^2
\end{equation}

 直角三角形の2辺がわかれば、残りの1辺も求まるというもので、紀元前から測量等でも使われてきました。日本では中学3年生(義務教育!)で習います。長い歴史の中で、様々な人により、様々な証明が生み出されてきましたが、今回は相似を利用した証明(2つめ)を紹介します。
※相似を利用した最も単純な証明はこちら→「三平方の定理の証明⑪(相似を利用した証明1)


Ⅱ 相似を利用した証明2

では、証明に入りましょう。

証明

 下の図のように、\(~\triangle ABC~\)と合同な三角形\(~DCE~\)を重ね、\(~AB~\)と\(~DC~\)の交点を\(~F~\)とする。

 このとき、
\begin{align}
\angle{AFC}&=180^{\circ}-(\angle{CAF}+\angle{ACF}) \\
&=180^{\circ}-(\angle{CAB}+\angle{ABC}) \\
&=180^{\circ}-90^{\circ} \\
&=90^{\circ}
\end{align}
であるため、2組の角がそれぞれ等しいので、

\(\triangle ABC~\)∽\(~ \triangle CBF ~~~\cdots ①\)

が言える。
 

 次に、\(~BF=x~\)とすると、①より、
\begin{align}
AB : CB &= BC : BF \\
c : a &= a : x \\
cx&=a^2 \\
\displaystyle x&=\frac{a^2}{c} ~~~\cdots ②
\end{align}
である。
 
 ここで、\(~AD~\)を結び\(~\triangle ABD~\)の面積について考える。

\(~~AC~\)を底辺としたとき、
\begin{align}
\triangle ABD&=\displaystyle \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DE \\
\\
&=\frac{1}{2} \cdot b \cdot b \\
\\
&=\frac{1}{2} b^2 ~~~~\cdots ③ \\
\end{align}
 また、\(~CD~\)を底辺としたとき、
\begin{align}
\triangle ABD&=\displaystyle \frac{1}{2} \cdot CD \cdot AF \\
\\
&=\frac{1}{2} \cdot c \cdot (c-x) \\
\\
&=\frac{1}{2} c(c-x) ~~~~\cdots ④ \\
\end{align}
なので、③、④より、
\begin{align}
\displaystyle \frac{1}{2} b^2&=\frac{1}{2} c(c-x) \\
\\
b^2&=c^2-cx
\end{align}
ここに、②を代入することで、
\begin{align}
\displaystyle b^2&=c^2-c \cdot \frac{a^2}{c} \\
\\
b^2&=c^2-a^2 \\
\\
a^2+b^2&=c^2
\end{align}
が求まった。 \(~\blacksquare\)

 よくある面積を2通りの方法で表してあげる証明方法でした。
 
 図の中には他にも相似な三角形があるので、それを利用しても証明できます。


Ⅲ その他の証明方法

 数百ある証明の中から有名な証明方法をいくつか紹介します。是非いろいろな証明を見て、お気に入りの証明方法を見つけてください。
~順次作成中~

①ピタゴラスの証明  正方形を4つの図形にうまく分割し、回転させることにより、その面積関係から三平方の定理を導いています。
②ユークリッドの証明 等積変形や合同を使って、複雑な計算をせずに証明をします。
③内接円を利用した証明 内接円を使って、面積を2通りの方法で表して証明をします。
④方べきの定理を利用した証明1 内部で交わるタイプの方べきの定理を使って証明します。
⑤方べきの定理を利用した証明2 接線タイプの方べきの定理を使って証明します。
⑥レオナルド・ダ・ヴィンチの証明 合同な図形をうまく使った証明方法です。
⑦トレミーの定理による証明 円に内接する長方形に、トレミーの定理を適用します。
⑧ジェームズ・A・ガーフィールドの証明 アメリカの大統領が考えた、台形を使った証明方法です。
⑨アン・コンディットの証明  16歳の少女が考えた、補助線を多用する証明方法です。
⑩無限等比級数を利用した証明  垂線によって直角三角形を細かくしていき、最終的には無限等比級数を利用する証明方法です。
⑪相似を利用した証明1  相似を使った最もシンプルな証明方法です。
⑫相似を利用した証明2  合同な直角三角形を重ね、相似な三角形を利用しながら、ある三角形の面積を2通りの方法で表します。

他にもいろいろあるので、調べてみてください。


 相似を使った証明は挙げるとキリがない・・・。

   
 
 


◇参考文献等
・「Pythagorean Theorem」,<https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml#46> 2020年1月12日アクセス

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Posted by Fuku