三平方の定理の証明⑫(相似を利用した証明2)

 三平方の定理には数百もの証明方法があります。今回は相似を利用した2つ目の証明方法について紹介します。


目次

Ⅰ 三平方の定理とは

三平方の定理とは、次のような定理です。

三平方の定理(ピタゴラスの定理)


上のような直角三角形で、次の等式が成り立つ。
\begin{equation}
a^2+b^2=c^2
\end{equation}

直角三角形の2辺がわかれば、残りの1辺も求まるというもので、紀元前から測量等でも使われてきました。日本では中学3年生(義務教育!)で習います。長い歴史の中で、様々な人により、様々な証明が生み出されてきましたが、今回は相似を利用した証明(2つめ)を紹介します。

※相似を利用した証明は他にもあります。


Ⅱ 相似を利用した証明2

では、証明に入りましょう。

証明

下の図のように、$~\triangle ABC~$と合同な三角形$~DCE~$を重ね、$~AB~$と$~DC~$の交点を$~F~$とする。

このとき、
\begin{align}
\angle{AFC}&=180^{\circ}-(\angle{CAF}+\angle{ACF}) \\
&=180^{\circ}-(\angle{CAB}+\angle{ABC}) \\
&=180^{\circ}-90^{\circ} \\
&=90^{\circ}
\end{align}
であるため、2組の角がそれぞれ等しいので、

$\triangle ABC~$∽$~ \triangle CBF ~~~\cdots ①$

が言える。
 

次に、$~BF=x~$とすると、①より、
\begin{align}
AB : CB &= BC : BF \\
c : a &= a : x \\
cx&=a^2 \\
\displaystyle x&=\frac{a^2}{c} ~~~\cdots ②
\end{align}
である。
 
ここで、$~AD~$を結び$~\triangle ABD~$の面積について考える。

$~~AC~$を底辺としたとき、
\begin{align}
\triangle ABD&=\displaystyle \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DE \\
\\
&=\frac{1}{2} \cdot b \cdot b \\
\\
&=\frac{1}{2} b^2 ~~~~\cdots ③ \\
\end{align}
また、$~CD~$を底辺としたとき、
\begin{align}
\triangle ABD&=\displaystyle \frac{1}{2} \cdot CD \cdot AF \\
\\
&=\frac{1}{2} \cdot c \cdot (c-x) \\
\\
&=\frac{1}{2} c(c-x) ~~~~\cdots ④ \\
\end{align}
なので、③、④より、
\begin{align}
\displaystyle \frac{1}{2} b^2&=\frac{1}{2} c(c-x) \\
\\
b^2&=c^2-cx
\end{align}
ここに、②を代入することで、
\begin{align}
\displaystyle b^2&=c^2-c \cdot \frac{a^2}{c} \\
\\
b^2&=c^2-a^2 \\
\\
a^2+b^2&=c^2
\end{align}
が求まった。 $~\blacksquare$

よくある面積を2通りの方法で表してあげる証明方法でした。
 
図の中には他にも相似な三角形があるので、それを利用しても証明できます。


Ⅲ その他の証明方法

数百ある証明の中から有名な証明方法をいくつか紹介します。是非いろいろな証明を見て、お気に入りの証明方法を見つけてください。
~順次作成中~
[pythagorastable]
他にもいろいろあるので、調べてみてください。


 相似を使った証明は挙げるとキリがない・・・。


 
 


◇参考文献等
・「Pythagorean Theorem」,<https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml#46> 2020年1月12日アクセス

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