三平方の定理の証明②（ユークリッドの証明）

\(~\angle A=90^\circ~\) である直角三角形ABCで、 \(~AB=a,AC=b,BC=c~\) とする。
\(~AB,AC,BC~\) それぞれを１辺とした正方形 \(~ADEB,AFGC,BHIC~\) を直角三角形ABCの外側に作る。

　ここで、３つの正方形の面積を求めると、
\begin{align}
正方形ADEB&=a^2 \\
正方形AFGC&=b^2 \\
正方形BHIC&=c^2 \\
\end{align}
である。三平方の定理を証明するには、 \(~a^2+b^2=c^2~\) を示せばよい。
 
まず、△DEBについて考える。

△DEBの面積は、正方形ADEBを対角線で二等分してできた図形なので、
\begin{equation}
\displaystyle \triangle DEB=\frac{a^2}{2}・・・①
\end{equation}
 
次に、 \(~BE//CD~\) から等積変形を使うと、下図のように△DEBと△CEBの面積が等しいことがわかる。

\begin{equation}
\triangle DEB=\triangle CEB・・・②
\end{equation}
 
次に、△CEBと△HABについて、

仮定より、四角形ADEB,BHICは正方形なので、
\begin{equation}
EB=AB・・・③　　　\\
CB=HB・・・④　　　\\
\end{equation}
また、

\begin{align}
\angle EBC&=\angle EBA+\angle ABC=90^{\circ}+\angle ABC \\
\angle ABH&=\angle HBC+\angle ABC=90^{\circ}+\angle ABC
\end{align}

\begin{align}
\angle EBC&=\angle EBA+\angle ABC \\
&=90^{\circ}+\angle ABC \\
\\
\angle ABH&=\angle HBC+\angle ABC \\
&=90^{\circ}+\angle ABC
\end{align}

となるので、
\begin{equation}
\angle EBC=\angle ABH　・・・⑤
\end{equation}
③～⑤より、 \(~\triangle CEB \equiv \triangle HAB~\) であるため、面積も等しい。
\begin{equation}
\triangle CEB=\triangle HAB・・・⑥
\end{equation}
 
次に、BHと平行な線分AKを引き、BCとの交点をJとする。

ここで、 \(~BH//AK~\) から等積変形を使うと、下図のように△HABと△HJBの面積が等しいことがわかる。

\begin{equation}
\triangle HAB=\triangle HJB・・・⑦
\end{equation}
 
①,②,⑥,⑦より、

\begin{equation}
\displaystyle \frac{a^2}{2}=\triangle DEB=\triangle CEB=\triangle HAB=\triangle HJB
\end{equation}

\begin{multline}
\displaystyle \frac{a^2}{2}=\triangle DEB=\triangle CEB \\
=\triangle HAB=\triangle HJB
\end{multline}

であり、最初と最後から、
\begin{equation}
\displaystyle　\triangle HJB=\frac{a^2}{2}・・・⑧
\end{equation}
が言える。

 
同様に、△FGCを等積変形や合同によって、動かしていくと、
\begin{equation}
\displaystyle　\triangle IJC=\frac{b^2}{2}・・・⑨
\end{equation}
が言える。

 
ここで、⑧＋⑨をすると、
\begin{equation}
\displaystyle \frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}=\triangle HJB+\triangle IJC・・・⑩
\end{equation}
であり、△HJB,△IJCはそれぞれ長方形HKJB,長方形IKJCの二等分であるため、２つの図形の面積の和は正方形BHICの半分になる。つまり、
\begin{equation}
\displaystyle　\triangle HJB+\triangle IJC=\frac{c^2}{2}・・・⑪
\end{equation}
であるため、⑩と⑪より、
\begin{align}
\displaystyle \frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}&=\frac{c^2}{2} \\
\\
a^2+b^2&=c^2
\end{align}
となる。 \(~Q.E.D\)