三平方の定理の証明②(ユークリッドの証明)

中3数学平面図形中3数学

三平方の定理には数百もの証明方法があります。その中でも、ユークリッドが主著『原論』の中で紹介した、幾何的な証明について説明します。
Ⅰ 三平方の定理とは
Ⅱ ユークリッドの証明
Ⅲ その他の証明方法へ



目次
  • 1. Ⅰ 三平方の定理とは
  • 2. Ⅱ ユークリッドの証明
  • 3. Ⅲ その他の証明方法

Ⅰ 三平方の定理とは

 三平方の定理とは、次のような定理です。

三平方の定理(ピタゴラスの定理)


上のような直角三角形で、次の等式が成り立つ。
\begin{equation}
a^2+b^2=c^2
\end{equation}

 直角三角形の2辺がわかれば、残りの1辺も求まるというもので、紀元前から測量等でも使われてきました。日本では中学3年生(義務教育!)で習います。長い歴史の中で、様々な人により、様々な証明が生み出されてきましたが、今回は紀元前3世紀頃の数学者ユークリッドが編み出した、合同と等積変形を使った幾何的な証明方法を紹介します。


Ⅱ ユークリッドの証明

 では、ユークリッドが考えた方法で証明していきます。

証明

\(~\angle A=90^\circ~\) である直角三角形ABCで、 \(~AB=a,AC=b,BC=c~\) とする。
\(~AB,AC,BC~\) それぞれを1辺とした正方形 \(~ADEB,AFGC,BHIC~\) を直角三角形ABCの外側に作る。

 ここで、3つの正方形の面積を求めると、
\begin{align}
正方形ADEB&=a^2 \\
正方形AFGC&=b^2 \\
正方形BHIC&=c^2 \\
\end{align}
である。三平方の定理を証明するには、 \(~a^2+b^2=c^2~\) を示せばよい。
 
まず、△DEBについて考える。

△DEBの面積は、正方形ADEBを対角線で二等分してできた図形なので、
\begin{equation}
\displaystyle \triangle DEB=\frac{a^2}{2}・・・①
\end{equation}
 
次に、 \(~BE//CD~\) から等積変形を使うと、下図のように△DEBと△CEBの面積が等しいことがわかる。

\begin{equation}
\triangle DEB=\triangle CEB・・・②
\end{equation}
 
次に、△CEBと△HABについて、

仮定より、四角形ADEB,BHICは正方形なので、
\begin{equation}
EB=AB・・・③   \\
CB=HB・・・④   \\
\end{equation}
また、

\begin{align}
\angle EBC&=\angle EBA+\angle ABC=90^{\circ}+\angle ABC \\
\angle ABH&=\angle HBC+\angle ABC=90^{\circ}+\angle ABC
\end{align}


\begin{align}
\angle EBC&=\angle EBA+\angle ABC \\
&=90^{\circ}+\angle ABC \\
\\
\angle ABH&=\angle HBC+\angle ABC \\
&=90^{\circ}+\angle ABC
\end{align}

となるので、
\begin{equation}
\angle EBC=\angle ABH ・・・⑤
\end{equation}
③~⑤より、 \(~\triangle CEB \equiv \triangle HAB~\) であるため、面積も等しい。
\begin{equation}
\triangle CEB=\triangle HAB・・・⑥
\end{equation}
 
次に、BHと平行な線分AKを引き、BCとの交点をJとする。

ここで、 \(~BH//AK~\) から等積変形を使うと、下図のように△HABと△HJBの面積が等しいことがわかる。

\begin{equation}
\triangle HAB=\triangle HJB・・・⑦
\end{equation}
 
①,②,⑥,⑦より、

\begin{equation}
\displaystyle \frac{a^2}{2}=\triangle DEB=\triangle CEB=\triangle HAB=\triangle HJB
\end{equation}


\begin{multline}
\displaystyle \frac{a^2}{2}=\triangle DEB=\triangle CEB \\
=\triangle HAB=\triangle HJB
\end{multline}

であり、最初と最後から、
\begin{equation}
\displaystyle \triangle HJB=\frac{a^2}{2}・・・⑧
\end{equation}
が言える。

 
同様に、△FGCを等積変形や合同によって、動かしていくと、
\begin{equation}
\displaystyle \triangle IJC=\frac{b^2}{2}・・・⑨
\end{equation}
が言える。

 
ここで、⑧+⑨をすると、
\begin{equation}
\displaystyle \frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}=\triangle HJB+\triangle IJC・・・⑩
\end{equation}
であり、△HJB,△IJCはそれぞれ長方形HKJB,長方形IKJCの二等分であるため、2つの図形の面積の和は正方形BHICの半分になる。つまり、
\begin{equation}
\displaystyle \triangle HJB+\triangle IJC=\frac{c^2}{2}・・・⑪
\end{equation}
であるため、⑩と⑪より、
\begin{align}
\displaystyle \frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}&=\frac{c^2}{2} \\
\\
a^2+b^2&=c^2
\end{align}
となる。 \(~Q.E.D\)

等積変形→合同→等積変形という幾何的な要素のみを使い、複雑な式変形が出てこないのが特徴です。


Ⅲ その他の証明方法

 数百ある証明の中から有名な証明方法をいくつか紹介します。是非いろいろな証明を見て、お気に入りの証明方法を見つけてください。
~順次作成中~

①ピタゴラスの証明  正方形を4つの図形にうまく分割し、回転させることにより、その面積関係から三平方の定理を導いています。
②ユークリッドの証明 等積変形や合同を使って、複雑な計算をせずに証明をします。
③内接円を利用した証明 内接円を使って、面積を2通りの方法で表して証明をします。
④方べきの定理を利用した証明1 内部で交わるタイプの方べきの定理を使って証明します。
⑤方べきの定理を利用した証明2 接線タイプの方べきの定理を使って証明します。
⑥レオナルド・ダ・ヴィンチの証明 合同な図形をうまく使った証明方法です。
⑦トレミーの定理による証明 円に内接する長方形に、トレミーの定理を適用します。
⑧ジェームズ・A・ガーフィールドの証明 アメリカの大統領が考えた、台形を使った証明方法です。
⑨アン・コンディットの証明  16歳の少女が考えた、補助線を多用する証明方法です。
⑩無限等比級数を利用した証明  垂線によって直角三角形を細かくしていき、最終的には無限等比級数を利用する証明方法です。
⑪相似を利用した証明1  相似を使った最もシンプルな証明方法です。
⑫相似を利用した証明2  合同な直角三角形を重ね、相似な三角形を利用しながら、ある三角形の面積を2通りの方法で表します。

他にもいろいろあるので、調べてみてください。


とにかく計算が出てこない!面積が等しい図形を、等積変形や合同という武器を使って移動させていくのが美しいですね。

   


☆参考文献等
・マイケル・J・ブラッドリー(2009)『数学を切りひらいた人びと1-数学を生んだ父母たち』,pp.55,松浦俊輔訳,青土社.
・『中高一貫教育のためのシステム数学 幾何編2』新課程用,p107,啓林館/河合塾

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Posted by Fuku