三平方の定理の証明⑤（方べきの定理の利用２）

　三平方の定理は、何百もの証明方法があるといわれています。
　この記事では、接線が登場する方べきの定理を利用した証明方法を解説します。

Ⅰ　方べきの定理と『原論』

　方べきの定理は数学Aで学ぶ、円と２本の直線に関する性質で、３パターン存在します。
　今回の三平方の定理の証明では、その中でも接線が登場するパターンを利用します。

方べきの定理２

　円の外部の点$~P~$から円に引いた接線の交点を$~T~$とする。
　$~P~$を通り、この円と２点$~A~,~B~$で交わる直線を引くと、次の等式が成り立つ。

PT^2= PA \cdot PB

　証明は$~\triangle PAB$∽$\triangle PCA~$を使います。

　方べきの定理は紀元前から存在していました。
　ユークリッドの『原論』の第３巻の命題36には、以下のように述べられています。

　『原論』から2000年以上経った1927年、三平方の定理の証明を371個集めた『ピタゴラスの命題』が出版されました。

　その中に、方べきの定理を利用した証明方法が載っていたものの、定理を適用してあげるだけの方法なので、もっと昔から存在していた証明方法であると推察されます。

Ⅱ　方べきの定理２を利用した証明

　では、接線型の方べきの定理を利用して、三平方の定理を証明してみましょう。

証明

　半径$~a~$の円$~O~$で、円周上の点$~T~$における長さ$~b~$の接線$~AT~$を引く。
　直線$~PO~$と円$~O~$の２つの交点をそれぞれ$~A~$と$~B~$とする。

　$~PO=c~$とすると、各辺の長さは図３のようになる。

　ここで、「方べきの定理２」を使うと、

\begin{align*}
PA^2 &= PB \cdot PC \\
b^2&=(c-a) \cdot (c+a) \\
b^2&=c^2-a^2 \\
a^2+b^2&=c^2  ~~~~\cdots ①
\end{align*}

が求まる。

　したがって、直角三角形$~PTO~$に注目すれば、$①$より三平方の定理が証明されたことが言える。■

　接線と半径が直交する性質を使った証明でした。

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方べきの定理って３パターンあったよね。
もう１パターンで、三平方の証明はできないの？

　う～ん。
　同じことを考えたけど、思いつかなかったなぁ。