三平方の定理の証明⑦(トレミーの定理による証明)

 三平方の定理は、何百もの証明方法があるといわれています。
 この記事では、数学者プトレマイオスが2世紀に考えた「トレミーの定理」を使った証明方法を解説します。

この記事を読んでわかること
  • トレミーの定理の概要とその歴史
  • トレミーの定理を利用した三平方の定理の証明方法
目次

Ⅰ トレミーの定理

 ローマ時代の数学者クラウディオス・プトレマイオス(Claudius Ptolemaeus , 85頃-165頃)は、トレミー(Ptolemy)とも呼ばれ、アレクサンドリアの地で科学の研究をしていました。

 天文学を科学的に考察するなかで、三角関数を研究するようになりました。
 その際に多用したのが、彼の著書『アルマゲスト』に載っていたトレミーの定理です。

トレミーの定理

 円に内接する任意の四角形ABCDについて、次の等式が成り立つ。

AC \times BD=AB \times CD + BC \times DA
トレミーの定理
<図1> トレミーの定理

 この定理は、2本の対角線の積は、2組の対辺の積の和に等しいということを表しています。
 色分けして見やすくすると、次のようになります。

$AC \times BD$$~=~$$AB \times CD$$~+~$$BC \times DA$

トレミーの定理の解説
<図2> トレミーの定理の解説

 
 証明については、以下の記事に書いていますので、ご覧ください。

Ⅱ トレミーの定理による証明

 トレミーの定理自体の証明が難しいため、これを使った三平方の定理の証明は簡単にできます。

証明

 円に内接する長方形ABCDを考える。

証明1
<図3> 証明1

 $~AB=a~$、$~BC=b~$、$~AC=c~$としたとき、トレミーの定理より、

$AC \times BD$$~=~$$AB \times CD$$~+~$$BC \times DA$

が成り立つ。

 よって、$~BD=AC=c~$$~CD=AB=a~$$~DA=BC=b~$より、

\begin{align*}
c \times c &=a\times a+b \times b  \\
c^2&=a^2+b^2
\end{align*}

であることが示された。■

 任意の内接四角形でトレミーの定理が成り立つため、長方形でトレミーの定理を適用するだけの証明でした。


なんで「プトレマイオス」が「トレミー」なの?

 英語圏だと「マイケル」を「マイク」って呼ぶことあるよね?
 それと同じ理由だよ。

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