三平方の定理の証明⑦(トレミーの定理による証明)

中3数学平面図形中3数学

三平方の定理には数百もの証明方法があります。今回は「トレミーの定理」を利用した証明方法について紹介します。
Ⅰ 三平方の定理とは
Ⅱ トレミーの定理による証明
Ⅲ その他の証明方法


目次
  • 1. Ⅰ 三平方の定理とは
  • 2. Ⅱ トレミーの定理による証明
  • 3. Ⅲ その他の証明方法

Ⅰ 三平方の定理とは

 三平方の定理とは、次のような定理です。

三平方の定理(ピタゴラスの定理)


上のような直角三角形で、次の等式が成り立つ。
\begin{equation}
a^2+b^2=c^2
\end{equation}

 直角三角形の2辺がわかれば、残りの1辺も求まるというもので、紀元前から測量等でも使われてきました。日本では中学3年生(義務教育!)で習います。長い歴史の中で、様々な人により、様々な証明が生み出されてきましたが、今回は「トレミーの定理」(別名「プトレマイオスの定理」)を使った証明方法を紹介します。


Ⅱ トレミーの定理による証明

 まずは、トレミーの定理についてです。

トレミーの定理


 円に内接する任意の四角形ABCDについて、次の等式が成り立つ。
\begin{equation}
AC \times BD=AB \times CD + BC \times DA
\end{equation}

 「2本の対角線の積は、2組の対辺の積の和に等しい」ということを表しています。
色分けして見やすくすると、次のようになります。

\(AC \times BD\) \(~=~\) \(AB \times CD\) \(~+~\) \(BC \times DA\)

 
 この定理の証明は、「トレミーの定理」からご覧ください。
 
 では、トレミーの定理を使って、三平方の定理を証明していきます。

証明

 円に内接する長方形ABCDを考える。 \(~AB=a~\) \(~BC=b~\) \(~AC=c~\) とする。

 トレミーの定理より、

\(AC \times BD\) \(~=~\) \(AB \times CD\) \(~+~\) \(BC \times DA\)

 
が成り立ち、 \(~BD=AC=c~\) \(~CD=AB=a~\) \(~DA=BC=b~\) より、
 

\(c \times c\) \(~=~\) \(a \times a\) \(~+~\) \(b \times b\)

\(c^2\) \(~=~\) \(a^2\) \(~+~\) \(b^2\)

 
 よって、三平方の定理は示された。 \(~\blacksquare\)

 任意の内接四角形でトレミーの定理が成り立つため、長方形でトレミーの定理を適用してあげるだけの証明でした。


Ⅲ その他の証明方法

 是非いろいろな証明を見て、お気に入りの証明方法を見つけてください。
~順次作成中~

①ピタゴラスの証明  正方形を4つの図形にうまく分割し、回転させることにより、その面積関係から三平方の定理を導いています。
②ユークリッドの証明 等積変形や合同を使って、複雑な計算をせずに証明をします。
③内接円を利用した証明 内接円を使って、面積を2通りの方法で表して証明をします。
④方べきの定理を利用した証明1 内部で交わるタイプの方べきの定理を使って証明します。
⑤方べきの定理を利用した証明2 接線タイプの方べきの定理を使って証明します。
⑥レオナルド・ダ・ヴィンチの証明 合同な図形をうまく使った証明方法です。
⑦トレミーの定理による証明 円に内接する長方形に、トレミーの定理を適用します。
⑧ジェームズ・A・ガーフィールドの証明 アメリカの大統領が考えた、台形を使った証明方法です。
⑨アン・コンディットの証明  16歳の少女が考えた、補助線を多用する証明方法です。
⑩無限等比級数を利用した証明  垂線によって直角三角形を細かくしていき、最終的には無限等比級数を利用する証明方法です。
⑪相似を利用した証明1  相似を使った最もシンプルな証明方法です。
⑫相似を利用した証明2  合同な直角三角形を重ね、相似な三角形を利用しながら、ある三角形の面積を2通りの方法で表します。

他にもいろいろありますよ~('ω’)ノ


 一見短いようですが、トレミーの定理がの証明がやや長め。是非、トレミーの定理の証明もご覧ください。

   
 
 


◇参考文献等
・E・マオール(2008)『ピタゴラスの定理-4000年の歴史』,pp.143-146,伊理由美訳,岩波書店.

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Posted by Fuku