三平方の定理の証明⑦（トレミーの定理による証明）

　三平方の定理は、何百もの証明方法があるといわれています。
　この記事では、数学者プトレマイオスが２世紀に考えた「トレミーの定理」を使った証明方法を解説します。

Ⅰ　トレミーの定理

　ローマ時代の数学者クラウディオス・プトレマイオス（Claudius Ptolemaeus , 85頃-165頃）は、トレミー（Ptolemy）とも呼ばれ、アレクサンドリアの地で科学の研究をしていました。

　天文学を科学的に考察するなかで、三角関数を研究するようになりました。
　その際に多用したのが、彼の著書『アルマゲスト』に載っていたトレミーの定理です。

トレミーの定理

　円に内接する任意の四角形ABCDについて、次の等式が成り立つ。

AC \times BD=AB \times CD + BC \times DA

　この定理は、２本の対角線の積は、２組の対辺の積の和に等しいということを表しています。
　色分けして見やすくすると、次のようになります。

$AC \times BD$$~=~$$AB \times CD$$~+~$$BC \times DA$

 
　証明については、以下の記事に書いていますので、ご覧ください。

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Ⅱ　トレミーの定理による証明

　トレミーの定理自体の証明が難しいため、これを使った三平方の定理の証明は簡単にできます。

証明

　円に内接する長方形ABCDを考える。

　$~AB=a~$、$~BC=b~$、$~AC=c~$としたとき、トレミーの定理より、

$AC \times BD$$~=~$$AB \times CD$$~+~$$BC \times DA$

が成り立つ。

　よって、$~BD=AC=c~$、$~CD=AB=a~$、$~DA=BC=b~$より、

\begin{align*}
c \times c &=a\times a+b \times b  \\
c^2&=a^2+b^2
\end{align*}

であることが示された。■

　任意の内接四角形でトレミーの定理が成り立つため、長方形でトレミーの定理を適用するだけの証明でした。

なんで「プトレマイオス」が「トレミー」なの？

　英語圏だと「マイケル」を「マイク」って呼ぶことあるよね？
　それと同じ理由だよ。