三平方の定理の証明⑦（トレミーの定理による証明）

中３数学平面図形中３数学

三平方の定理には数百もの証明方法があります。今回は「トレミーの定理」を利用した証明方法について紹介します。
Ⅰ　三平方の定理とは
Ⅱ　トレミーの定理による証明
Ⅲ　その他の証明方法

目次
  • 1. Ⅰ　三平方の定理とは
  • 2. Ⅱ　トレミーの定理による証明
  • 3. Ⅲ　その他の証明方法

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Ⅰ　三平方の定理とは

　三平方の定理とは、次のような定理です。

三平方の定理（ピタゴラスの定理）


上のような直角三角形で、次の等式が成り立つ。
\begin{equation}
a^2+b^2=c^2
\end{equation}

　直角三角形の２辺がわかれば、残りの１辺も求まるというもので、紀元前から測量等でも使われてきました。日本では中学３年生（義務教育！）で習います。長い歴史の中で、様々な人により、様々な証明が生み出されてきましたが、今回は「トレミーの定理」（別名「プトレマイオスの定理」）を使った証明方法を紹介します。

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Ⅱ　トレミーの定理による証明

　まずは、トレミーの定理についてです。

トレミーの定理


　円に内接する任意の四角形ABCDについて、次の等式が成り立つ。
\begin{equation}
AC \times BD=AB \times CD + BC \times DA
\end{equation}

　「２本の対角線の積は、２組の対辺の積の和に等しい」ということを表しています。
色分けして見やすくすると、次のようになります。

\(AC \times BD\) \(~=~\) \(AB \times CD\) \(~+~\) \(BC \times DA\)

 
　この定理の証明は、「トレミーの定理」からご覧ください。
 
　では、トレミーの定理を使って、三平方の定理を証明していきます。

証明

　円に内接する長方形ABCDを考える。 \(~AB=a~\) 、 \(~BC=b~\) 、 \(~AC=c~\) とする。

　トレミーの定理より、

\(AC \times BD\) \(~=~\) \(AB \times CD\) \(~+~\) \(BC \times DA\)

 
が成り立ち、 \(~BD=AC=c~\) 、 \(~CD=AB=a~\) 、 \(~DA=BC=b~\) より、
 

\(c \times c\) \(~=~\) \(a \times a\) \(~+~\) \(b \times b\)

\(c^2\) \(~=~\) \(a^2\) \(~+~\) \(b^2\)

 
　よって、三平方の定理は示された。 \(~\blacksquare\)

　任意の内接四角形でトレミーの定理が成り立つため、長方形でトレミーの定理を適用してあげるだけの証明でした。

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Ⅲ　その他の証明方法

　是非いろいろな証明を見て、お気に入りの証明方法を見つけてください。
～順次作成中～

①ピタゴラスの証明 　正方形を４つの図形にうまく分割し、回転させることにより、その面積関係から三平方の定理を導いています。
②ユークリッドの証明 等積変形や合同を使って、複雑な計算をせずに証明をします。
③内接円を利用した証明 内接円を使って、面積を２通りの方法で表して証明をします。
④方べきの定理を利用した証明１ 内部で交わるタイプの方べきの定理を使って証明します。
⑤方べきの定理を利用した証明２ 接線タイプの方べきの定理を使って証明します。
⑥レオナルド・ダ・ヴィンチの証明 合同な図形をうまく使った証明方法です。
⑦トレミーの定理による証明 円に内接する長方形に、トレミーの定理を適用します。
⑧ジェームズ・Ａ・ガーフィールドの証明 アメリカの大統領が考えた、台形を使った証明方法です。
⑨アン・コンディットの証明 　16歳の少女が考えた、補助線を多用する証明方法です。
⑩無限等比級数を利用した証明 　垂線によって直角三角形を細かくしていき、最終的には無限等比級数を利用する証明方法です。
⑪相似を利用した証明１ 　相似を使った最もシンプルな証明方法です。
⑫相似を利用した証明２ 　合同な直角三角形を重ね、相似な三角形を利用しながら、ある三角形の面積を２通りの方法で表します。
⑬外接円と直角二等辺三角形を利用した証明 　外接円に４つの直角二等辺三角形を混ぜた図形から、証明を行います。
⑭相似を利用した証明３ 　中学３年生レベルの円、相似の知識を使って三平方の定理を導いています。
⑮教科書の証明 　中学３年生の教科書によく載っている２つの証明方法と、それらを合わせたバースカラ（インドの数学者）の証明を解説しました。

他にもいろいろありますよ～('ω’)ノ

　一見短いようですが、トレミーの定理がの証明がやや長め。是非、トレミーの定理の証明もご覧ください。

   
 
 

◇参考文献等
・E・マオール（2008）『ピタゴラスの定理-4000年の歴史』,pp.143-146,伊理由美訳,岩波書店.

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Posted by Fuku