三平方の定理の証明⑦（トレミーの定理による証明）
三平方の定理には数百もの証明方法があります。今回は「トレミーの定理」を利用した証明方法について紹介します。
Ⅰ 三平方の定理とは
Ⅱ トレミーの定理による証明
Ⅲ その他の証明方法
- 1. Ⅰ 三平方の定理とは
- 2. Ⅱ トレミーの定理による証明
- 3. Ⅲ その他の証明方法
Ⅰ 三平方の定理とは
三平方の定理とは、次のような定理です。
上のような直角三角形で、次の等式が成り立つ。
\begin{equation}
a^2+b^2=c^2
\end{equation}
直角三角形の２辺がわかれば、残りの１辺も求まるというもので、紀元前から測量等でも使われてきました。日本では中学３年生（義務教育！）で習います。長い歴史の中で、様々な人により、様々な証明が生み出されてきましたが、今回は「トレミーの定理」（別名「プトレマイオスの定理」）を使った証明方法を紹介します。
Ⅱ トレミーの定理による証明
まずは、トレミーの定理についてです。
円に内接する任意の四角形ABCDについて、次の等式が成り立つ。
\begin{equation}
AC \times BD=AB \times CD + BC \times DA
\end{equation}
「２本の対角線の積は、２組の対辺の積の和に等しい」ということを表しています。
色分けして見やすくすると、次のようになります。
\(AC \times BD\) \(~=~\) \(AB \times CD\) \(~+~\) \(BC \times DA\)
この定理の証明は、「トレミーの定理」からご覧ください。
では、トレミーの定理を使って、三平方の定理を証明していきます。
円に内接する長方形ABCDを考える。 \(~AB=a~\) 、 \(~BC=b~\) 、 \(~AC=c~\) とする。
トレミーの定理より、
\(AC \times BD\) \(~=~\) \(AB \times CD\) \(~+~\) \(BC \times DA\)
が成り立ち、 \(~BD=AC=c~\) 、 \(~CD=AB=a~\) 、 \(~DA=BC=b~\) より、
\(c \times c\) \(~=~\) \(a \times a\) \(~+~\) \(b \times b\)
\(c^2\) \(~=~\) \(a^2\) \(~+~\) \(b^2\)
よって、三平方の定理は示された。 \(~\blacksquare\)
任意の内接四角形でトレミーの定理が成り立つため、長方形でトレミーの定理を適用してあげるだけの証明でした。
Ⅲ その他の証明方法
是非いろいろな証明を見て、お気に入りの証明方法を見つけてください。
～順次作成中～
| ①ピタゴラスの証明 | 正方形を４つの図形にうまく分割し、回転させることにより、その面積関係から三平方の定理を導いています。 |
| ②ユークリッドの証明 | 等積変形や合同を使って、複雑な計算をせずに証明をします。 |
| ③内接円を利用した証明 | 内接円を使って、面積を２通りの方法で表して証明をします。 |
| ④方べきの定理を利用した証明１ | 内部で交わるタイプの方べきの定理を使って証明します。 |
| ⑤方べきの定理を利用した証明２ | 接線タイプの方べきの定理を使って証明します。 |
| ⑥レオナルド・ダ・ヴィンチの証明 | 合同な図形をうまく使った証明方法です。 |
| ⑦トレミーの定理による証明 | 円に内接する長方形に、トレミーの定理を適用します。 |
| ⑧ジェームズ・Ａ・ガーフィールドの証明 | アメリカの大統領が考えた、台形を使った証明方法です。 |
| ⑨アン・コンディットの証明 | 16歳の少女が考えた、補助線を多用する証明方法です。 |
| ⑩無限等比級数を利用した証明 | 垂線によって直角三角形を細かくしていき、最終的には無限等比級数を利用する証明方法です。 |
| ⑪相似を利用した証明１ | 相似を使った最もシンプルな証明方法です。 |
| ⑫相似を利用した証明２ | 合同な直角三角形を重ね、相似な三角形を利用しながら、ある三角形の面積を２通りの方法で表します。 |
他にもいろいろありますよ～('ω’)ノ
◇参考文献等
・E・マオール（2008）『ピタゴラスの定理-4000年の歴史』,pp.143-146,伊理由美訳,岩波書店.
一見短いようですが、トレミーの定理がの証明がやや長め。是非、トレミーの定理の証明もご覧ください。