2次方程式の解の公式

中3数学方程式・不等式中3数学

 どんな二次方程式でも解ける解の公式。
 同じく万能な平方完成の解き方と比較しながら証明していきます。
Ⅰ 解の公式と利用例
Ⅱ 証明
Ⅲ 確認

 


目次
  • 1. Ⅰ 解の公式と利用例
  • 2. Ⅱ 証明解の公式と利用例
  • 3. Ⅲ 確認

Ⅰ 解の公式と利用例

 中3で習う二次方程式ですが、その解き方は3種類ありました。
 因数分解(→「F数 16-4」)、平方根の利用(→「F数 16-1」「F数 16-2」)、そして解の公式(→「F数 16-3」)です。
 
 基本的には、因数分解や平方根の考え方を使うと速く解くことができますが、因数分解できなかったり、平方根を利用するための式変形(平方完成)が大変だったりすることが多々あります。
 
 そんなときに使うのが、下に示す解の公式です。

二次方程式の解の公式

\(~x~\)の二次方程式\(~ ax^2+bx+c=0 \qquad (a \neq 0)~\)の解は、
\begin{equation}
\displaystyle x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{equation}
で求まる。 

 右辺が\(~0~\)になるよう変形した二次方程式は全て、\(~a , b , c~\)の値を代入するだけで解が求まるということになります。
 

※ちなみに、三次方程式や四次方程式についても解の公式がありますが、非常に複雑です。
(→「3次方程式の解の公式」)(→「4次方程式解の公式」)

 
 さて、実際に解の公式で二次方程式を1題解いてみましょう。

\( 3x^2+5x+1=0~\)を解の公式で解く。
 
\(~a=3 , b=5 , c=1 ~\)なので、解の公式に代入すると、
\begin{align}
\displaystyle x&=\frac{-5 \pm \sqrt{5^2-4 \times 3 \times 1}}{2 \times 3} \\
\\
&=\frac{-5 \pm \sqrt{25-12}}{6} \\
\\
&=\frac{-5 \pm \sqrt{13}}{6} \\
\end{align}
と解が求まる。

 ということで、因数分解が使えず、平方完成でも大変な二次方程式は、このように代入するだけで簡単に解くことができます。


Ⅱ 証明解の公式と利用例

 解の公式の証明の前に、先ほどの例で挙げた二次方程式を平方完成することで解いてみましょう。

\( 3x^2+5x+1=0~\)を平方完成で解く。
両辺\(~\div 3~\)をする。
\begin{equation}
\displaystyle x^2+\frac{5}{3}x+\frac{1}{3}=0
\end{equation}
 平方完成をする。
\begin{equation}
\displaystyle \left( x+\frac{5}{6} \right)^2-\left( \frac{5}{6} \right)^2 +\frac{1}{3}=0
\end{equation}
\(~ \displaystyle \left( \frac{5}{6} \right)^2 ~\)を計算する。
\begin{equation}
\displaystyle \left( x+\frac{5}{6} \right)^2-\frac{25}{36}+\frac{1}{3}=0
\end{equation}
\(~ \displaystyle \frac{1}{3} ~\)を通分する(分母・分子に\(~ \times 12\))。
\begin{equation}
\displaystyle \left( x+\frac{5}{6} \right)^2-\frac{25}{36}+\frac{12}{36}=0
\end{equation}
 分数をまとめる。
\begin{equation}
\displaystyle \left( x+\frac{5}{6} \right)^2-\frac{13}{36}=0
\end{equation}
\(~ \displaystyle -\frac{13}{36} ~\)を移項する。
\begin{equation}
\displaystyle \left( x+\frac{5}{6} \right)^2=\frac{13}{36}
\end{equation}
 両辺、平方根をとる。
\begin{equation}
\displaystyle x+\frac{5}{6}=\pm \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{36}}
\end{equation}
 分母の\(~ \sqrt{\quad}~\)を外す。
\begin{equation}
\displaystyle x+\frac{5}{6}=\pm \frac{\sqrt{13}}{6}
\end{equation}
\(~ \displaystyle \frac{5}{6} ~\)を移項する。
\begin{equation}
\displaystyle x=-\frac{5}{6}\pm \frac{\sqrt{13}}{6}
\end{equation}
 分数をまとめる。
\begin{equation}
\displaystyle x=\frac{-5 \pm \sqrt{13}}{6}
\end{equation}

 
 平方完成でも、時間はかかりますが先ほどと同じ解が出てきました。
 
 これと同じ流れを、二次方程式\(~ ax^2+bx+c=0~\)で行うと、解の公式の証明を行うことができます。

証明

\( ax^2+bx+c=0 \qquad (a \neq 0)~\)を平方完成で解く。
 両辺\(~\div a~\)をする。
\begin{equation}
\displaystyle x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0
\end{equation}
 平方完成をする。
\begin{equation}
\displaystyle \left( x+\frac{b}{2a} \right)^2-\left( \frac{b}{2a} \right)^2 +\frac{c}{a}=0
\end{equation}
\(~ \displaystyle \left( \frac{b}{2a} \right)^2 ~\)を計算する。
\begin{equation}
\displaystyle \left( x+\frac{b}{2a} \right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}=0
\end{equation}
\(~ \displaystyle \frac{c}{a} ~\)を通分する(分母・分子に\(~ \times 4a\))。
\begin{equation}
\displaystyle \left( x+\frac{b}{2a} \right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{4ac}{4a^2}=0
\end{equation}
 分数をまとめる。(符号に注意!)
\begin{equation}
\displaystyle \left( x+\frac{b}{2a} \right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}=0
\end{equation}
\(~ \displaystyle -\frac{b^2-4ac}{4a} ~\)を移項する。
\begin{equation}
\displaystyle \left( x+\frac{b}{2a} \right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}
\end{equation}
 両辺、平方根をとる。
\begin{equation}
\displaystyle x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{\sqrt{4a^2}}
\end{equation}
 分母の\(~ \sqrt{\quad}~\)を外す。
\begin{equation}
\displaystyle x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{equation}
\(~ \displaystyle \frac{b}{2a} ~\)を移項する。
\begin{equation}
\displaystyle x=-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{equation}
 分数をまとめる。
\begin{equation}
\displaystyle x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{equation}
 以上より、解の公式が求まった。\( \qquad \blacksquare\)

 すべて文字なので、証明だけ見ると難しそうですが、先ほどの\(~ 3x^2+5x+1=0~\)の解き方と同じ式変形です。


Ⅲ 確認

 解の公式を、もとの二次方程式に代入して成り立つのかを確認しておきます。

確認

\(~ax^2+bx+c=0~\)に、\(~ \displaystyle x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}~\)を代入して計算する。

\begin{align}
&\qquad ax^2+bx+c \\
\\
&=a\left( \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \right)^2+b\left( \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \right)+c \\
\\
&=a\left( -\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \right)^2+b\left( -\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \right)+c \\
\\
&=a\left( \frac{b^2}{4a^2}-\frac{b\sqrt{b^2-4ac}}{2a^2}+\frac{b^2-4ac}{4a^2} \right)-\frac{b^2}{2a}+\frac{b\sqrt{b^2-4ac}}{2a} +c \\
\\
&=\frac{b^2}{4a}-\frac{b\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{b^2-4ac}{4a}-\frac{b^2}{2a}+\frac{b\sqrt{b^2-4ac}}{2a} +c \\
\\
&=\frac{b^2}{4a}+\frac{b^2}{4a}-\frac{4ac}{4a}-\frac{b^2}{2a}+c \\
\\
&=\frac{b^2}{4a}+\frac{b^2}{4a}-c-\frac{b^2}{2a}+c \\
\\
&=\frac{b^2}{2a}-\frac{b^2}{2a} \\
\\
&=0
\end{align}


\begin{align}
&\qquad ax^2+bx+c \\
\\
&=a\left( \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \right)^2 \\
&\hspace{2cm}+b\left( \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \right)+c \\
\\
&=a\left( -\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \right)^2 \\
&\hspace{2cm}+b\left( -\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \right)+c \\
\\
&=a\left( \frac{b^2}{4a^2}-\frac{b\sqrt{b^2-4ac}}{2a^2}+\frac{b^2-4ac}{4a^2} \right) \\
&\hspace{2cm}-\frac{b^2}{2a}+\frac{b\sqrt{b^2-4ac}}{2a} +c \\
\\
&=\frac{b^2}{4a}-\frac{b\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{b^2-4ac}{4a} \\
&\hspace{2cm}-\frac{b^2}{2a}+\frac{b\sqrt{b^2-4ac}}{2a} +c \\
\\
&=\frac{b^2}{4a}+\frac{b^2}{4a}-\frac{4ac}{4a}-\frac{b^2}{2a}+c \\
\\
&=\frac{b^2}{4a}+\frac{b^2}{4a}-c-\frac{b^2}{2a}+c \\
\\
&=\frac{b^2}{2a}-\frac{b^2}{2a} \\
\\
&=0
\end{align}

 複雑な計算を経て、確かに\(~ ax^2+bx+c=0~\)が成り立ちました。


 昔、塾の先生に「\(ax^2+bx+c=0~\)を解いてごらん。」と言われて、出てきた答えが解の公式とわかったときには感動しました。