数学が得意な人ほどいろいろと考えてしまう問題第２弾です。頭をやわらか～くして、お考えください。今回は式の展開編です。
展開の公式について、次のようなものが有名である。
\begin{align}
(x-a)&=x-a \\
(x-a)(x-b)&=x^2-(a+b)x+ab \\
(x-a)(x-b)(x-c)&=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc \\
\end{align}
では、次の式を計算しなさい。
\begin{equation}
(x-a)(x-b)(x-c) \cdots \cdots(x-z)
\end{equation}
\begin{align}
&(x-a)=x-a \\
\\
&(x-a)(x-b) \\
&=x^2-(a+b)x+ab \\
\\
&(x-a)(x-b)(x-c) \\
&=x^3-(a+b+c)x^2 \\
&+(ab+bc+ca)x-abc \\
\end{align}
では、次の式を計算しなさい。
\begin{equation}
(x-a)(x-b)(x-c) \cdots \cdots(x-z)
\end{equation}
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「$ \cdots \cdots $」の部分を省略せずに全部書いてあげると見えてくるかも・・・。
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「$ \cdots \cdots $」の最後の部分を書いてあげます。
\begin{align}
&(x-a)(x-b)(x-c) \cdots \cdots(x-z) \\
&=(x-a)(x-b)(x-c) \cdots (x-w)(x-x)(x-y)(x-z) \\
&=(x-a)(x-b)(x-c) \cdots (x-w)\cdot 0 \cdot (x-y)(x-z) \\
&=0
\end{align}
\begin{align}
&(x-a)(x-b)(x-c) \cdots \cdots(x-z) \\
&=(x-a) \cdots(x-w)(x-x)(x-y)(x-z) \\
&=(x-a)\cdots(x-w)\cdot 0 \cdot (x-y)(x-z) \\
&=0
\end{align}
ということで、答えは $~0~$ 。
$ (x-x)=0 $がミソです。
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大学時代、ゼミの先生から教えていただいた問題です。数学好きの人は、まず規則性を見つけたがりますよね・・。
でも、複雑になり過ぎて途中で断念してしまうと思います・・・。