正四面体の高さと体積

数学Ⅰ空間図形数学Ⅰ

 覚えておくと、高校受験や大学受験に非常に役立つ公式です。
 公式の導き方も含めて紹介します。
Ⅰ 公式
Ⅱ 証明


目次
  • 1. Ⅰ 公式
  • 2. Ⅱ 証明

Ⅰ 公式

 まずは公式だけ↓↓

正四面体の高さと体積

 1辺の長さが \(~a~\) である正四面体の高さと体積は、次のような式で求まる。
\begin{equation}
\displaystyle (高さ)=\frac{\sqrt{6}}{3}a,(体積)=\frac{\sqrt{2}}{12}a^3
\end{equation}

 一応覚え方ですが、昔習った塾の先生曰く、

ー君とジュニーちゃん

だそうです(;・∀・)
 
 確かに分数や \(~\sqrt{\quad}~\) といった式の形は同じですし、高さは1次元だから \(~a~\) の1乗、体積は3次元だから \(~a~\) の3乗ということで、数字の部分さえサブロー君とジュニニーちゃんで覚えておけば良いと思います。(←フォロー)


Ⅱ 証明

 では、証明に入ります。

証明


~ \(~H~\) が \(~\triangle BCD~\) の外心であることを示す~

  \(~\triangle ABH~\) と \(~\triangle ACH~\) において、
仮定より、 \(~AB=AC=a\cdots ①\)
      \(~\angle AHB=\angle AHC=90^{\circ} \cdots ②\)
\(~AH~\) は共通なので、 \(~AH=AH\cdots ③~\)
①~③より、直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので、
\begin{equation}
\triangle ABH \equiv \triangle ACH
\end{equation}
よって、対応する辺の長さは等しいので、
\begin{equation}
BH=CH\cdots ④
\end{equation}
 同様に、 \(~\triangle ACH \equiv \triangle ADH~\) なので、
\begin{equation}
CH=DH\cdots ⑤
\end{equation}
 ④、⑤より、
\begin{equation}
BH=CH=DH
\end{equation}
であり、これは \(~H~\) が \(~\triangle BCD~\) の外心であることを意味している。
 
 
~ \(~CH~\) の長さを求める~
 平面 \(~BCD~\) を考える。 
 
  \(~\triangle BCD~\) の外接円の半径の1つは \(~CH~\) なので、正弦定理より、
\begin{align}
\displaystyle 2CH&=\frac{a}{\sin{60^{\circ}}} \\
\\
2CH&=\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \\
\\
2CH&=\frac{2a}{\sqrt{3}} \\ \\
\\
CH&=\frac{a}{\sqrt{3}}
\end{align}
が求まる。
 
 
~ \(~AH~\) の長さを求める~

  \(~\triangle ACH~\) で三平方の定理を使うと、
\begin{align}
AH&=\displaystyle \sqrt{a^2-\left( \frac{a}{\sqrt{3}} \right)^2 } \\
\\
&=\sqrt{a^2-\frac{1}{3}a^2 } \\
\\
&=\sqrt{\frac{2}{3}a^2} \\
\\
&=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}a \\
\\
&=\frac{\sqrt{6}}{3}a
\end{align}
と、正四面体 \(~ABCD~\) の高さ \(~AH~\) が求まった。
 
 
~体積を求める~
 底面 \(~\triangle BCD~\) は1辺 \(~a~\) の正三角形なので、「正n角形の面積」より、
\begin{equation}
\triangle BCD=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}a^2
\end{equation}
である。
 よって、正四面体 \(~ABCD~\) の体積は、
\begin{align}
&\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}a \cdot \frac{1}{3} \\
\\
&=\frac{3\sqrt{2}}{36}a^3 \\
\\
&=\frac{\sqrt{2}}{12}a^3
\end{align}
と求まった。

 感覚的に \(~H~\) は \(~\triangle BCD~\) の重心ということがわかるので、それによって正弦定理を使わずに中学生でも証明可能です。


 覚えていると非常に便利! 私立高校によっては、知っているだけで最後の問題が解けてしまうなんてこともあります。(実体験)


 
 


数学Ⅰ空間図形数学Ⅰ

Posted by Fuku