根号を含む式の乗除の証明

\(~\sqrt{a} \times \sqrt{b}\)の２乗を考えると、
\begin{align}
(\sqrt{a} \times \sqrt{b})^2&=(\sqrt{a} \times \sqrt{b})\times (\sqrt{a} \times \sqrt{b}) \\
&=\sqrt{a} \times \sqrt{b} \times \sqrt{a} \times \sqrt{b} \\
&=(\sqrt{a})^2 \times (\sqrt{b})^2 \\
&=a \times b
\end{align}
となる。
 
　ここで、 \(~a > 0,b > 0~\) より、 \(~\sqrt{a} \times \sqrt{b} > 0~\) 。
　よって、 \(~a \times b~\) の平方根のうち、正のほうである\(~\sqrt{a \times b}~\)が、\(\sqrt{a} \times \sqrt{b}~\)と等しくなる。
　すなわち、
\begin{equation}
\sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a \times b}
\end{equation}
が示された。 \(~\blacksquare~\)
 
 
　また、\(\sqrt{a} \div \sqrt{b}~\)の２乗を考えると、
\begin{align}
\displaystyle (\sqrt{a} \div \sqrt{b})^2&=\left( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \right)^2 \\
\\
&=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \times \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \\
\\
&=\frac{(\sqrt{a})^2}{(\sqrt{b})^2} \\
\\
&=\frac{a}{b} \\
\\
&=a \div b
\end{align}
となり、乗法と同様の議論より、
\begin{equation}
\sqrt{a} \div \sqrt{b}=\sqrt{a \div b}
\end{equation}
が示された。　　 \(~\blacksquare~\)