√2が無理数であることの証明(面積の利用)

数学Ⅰ式と計算数学Ⅰ

 \(~\sqrt{2}~\)が無理数であることの証明の多くは、偶数奇数に注目したものが多いですが、今回は正方形の面積を使った珍しい証明方法を紹介します。
Ⅰ 命題と予備知識
Ⅱ 面積を利用した証明


目次
  • 1. Ⅰ 命題と予備知識
  • 2. Ⅱ 面積を利用した証明

Ⅰ 命題と予備知識

命題

\( \sqrt{2} \)は無理数である。

無理数とは有理数ではない数のことです。有理数は分数\( \displaystyle \frac{a}{b} (a,b \in \mathbb{Z} , b \neq 0) ~\) で表せる数のことなので、無理数は分数で表せない数と言うことができます。
 
 教科書に載っている証明方法や、素因数2に注目した証明方法はこちら→「√2が無理数であることの証明」。


Ⅱ 面積を利用した証明

証明

 背理法で示す。
\(~\sqrt{2}~\) は無理数ではない、つまり有理数と仮定すると、
互いに素な2つの自然数 \(~a~,~b~\) を用いて、
\begin{equation}
\displaystyle \sqrt{2}=\frac{a}{b}
\end{equation}
と表せる。(\(~\frac{a}{b}~\)は既約分数となっている)
 
 この式を変形していくと、
\begin{align}
\sqrt{2}b&=a \\
2b^2&=a^2 ~~~\cdots ①\\
\end{align}
となる。
 
 \(~\sqrt{2}~\)は、\(~1 < \sqrt{2} < 2~\)であるため、\(~a~,~b~\)に関して、次のような条件がわかる。
 \(~\displaystyle 1 < \frac{a}{b}~\)より、 \begin{align} b &< a \cdots ② \\ 0 &< a-b \cdots ③ \\ 2b-a &< a \cdots ④ \\ \end{align} \(~\displaystyle \frac{a}{b} < 2~\)より、 \begin{align} 0 &< 2b-a \cdots ⑤ \\ a-b &< b \cdots ⑥ \\ \end{align}    ②より、1辺\(~a~\)の正方形に、1辺\(~b~\)の正方形2つを下の図のように入れた図を考える。

 この図で、左上と右下の正方形の1辺の長さは\(~a-b~\)、中央の正方形の1辺の長さは、
\begin{equation}
a-(a-b)-(a-b)=2b-a
\end{equation}
である。

 ここで、1辺\(~a~\)の正方形の面積を2通りの方法で表すことで、
\begin{equation}
b^2+b^2-(2b-a)^2+2(a-b)^2=a^2
\end{equation}
が成り立つ。①を代入して計算していくと、
\begin{align}
2b^2-(2b-a)^2+2(a-b)^2&=2b^2 \\
2(a-b)^2&=(2b-a)^2 \\
\\
2&=\displaystyle \frac{(2b-a)^2}{(a-b)^2} \\
\end{align}
であり、両辺平方根をとると、③と⑤より、
\begin{equation}
\displaystyle \sqrt{2}=\frac{2b-a}{b-a}
\end{equation}
が求まる。
 
 しかし、④と⑥より、\(~\displaystyle \frac{2b-a}{b-a}~\)は\(~\displaystyle \frac{a}{b}~\)を約分した(分子・分母の数が小さくなった)ものであり、\(~\displaystyle \frac{a}{b}~\)が既約分数であることに矛盾。
 
よって、 \(~\sqrt{2}~\) が無理数であることが示された。  \(~\blacksquare \)

 この証明はTwitterを見ていたときに知りました。

 


 こんな証明、どうしたら思いつくのでしょうか・・・。


 
 


◇参考文献等
・「Twitter @fermatslibrary」,<https://twitter.com/fermatslibrary/status/1228675333710372864 > 2020年2月16日アクセス

数学Ⅰ式と計算数学Ⅰ

Posted by Fuku