地球にロープをまきつける

 直感と計算結果が噛み合わないお話。実際に地球にロープを巻き付けることはできませんが、起こり得る驚くべき結果を数式から導いてみましょう。


目次

Ⅰ 問題

 まずは直感で答えてみてください。

問題

 地球上に北極と南極を通るよう、ロープをピンと張った状態を考える。そのロープを $~1m~$ だけ伸ばして、地面との距離が等しくなるようピンと張りなおした時、地面とロープの間の距離はどのくらいになるだろうか? ただし、地球は完全な球形であるとし、地面の凹凸は考えないものとする。

ア: $~0.0015m(1.5mm)~$
イ: $~0.015m(15mm)~$
ウ: $~0.15m(15cm)~$
エ: $~1.5m~$


 さて、ア~エの中から答えは選べましたか? ってか、アよりも小さそうですよね・・・。
 
 実際に地球にロープを巻き付けることはできないので、数式で答え合わせをしてみましょう。
 
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解答

ウ: $~0.15m(15cm)~$

 驚きですよね・・・。地球1周約 $~40000km~$ もあるのに、ロープを $~40000km+1m~$ しただけで隙間が $~15cm~$ も生まれるなんて・・・。
 
 数式で確かめてみましょう。

解説

 地球の半径を $~r(m)~$ とする。

 このとき、青いロープの長さは半径 $~r~$ の円の周なので、
\begin{equation}
2\pi r
\end{equation}
と表せる。
 
 次に、 $~1m~$ 伸ばした赤いロープの長さは
\begin{equation}
2\pi r+1
\end{equation}
となる。

 赤いロープの円の半径 $~R~$ を求めると、
\begin{align}
2\pi R&=2\pi r+1 \\
\\
&=\displaystyle \frac{2\pi r+1}{2\pi} \\
\\
&=r+\frac{1}{2\pi}
\end{align}
となる。
 
よって、赤いロープの半径と青いロープの半径の差は、
\begin{align}
R-r&=\displaystyle \left( r+\frac{1}{2\pi} \right) -r \\
\\
&=\frac{1}{2\pi}(m)
\end{align}
と求まる。
 
 よって、地面とロープの幅は
\begin{equation}
\displaystyle \frac{100}{2\pi}(cm)\fallingdotseq 15.9(cm)
\end{equation}と求まった。

 この式からわかることは、

 巻き付ける物体の半径は関係ない!!

ということです。
 
 計算結果に $~r~$ を含んでいないことから、巻き付ける物体の半径 $~r~$ に関係なく、ロープを $~1m~$ 伸ばした時の幅は $~\displaystyle \frac{1}{2\pi}~$ になります。


 数式を使って理論的に示しても、納得しづらいですよね・・・。


 
 

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◇参考文献等
・アルフレッド・S・ポザマンティエ/イングマール・レーマン(2015)『数学まちがい大全集』,pp.213-216,堀江太郎訳,化学同人.

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