私学適性(数学)平成29年度解説 大問3

本の解説微分・積分本の解説

 東京都私学教員適性検査の過去問(平成29年度)の答えを解説付きで載せています。
 問題集の解答例で、解法を調べたい際にご活用ください。
大問1
大問2
大問3(本ページ)
大問4
大問5


 他の年度については、コチラからどうぞ。


 問題集にも載っていますが、解答だけをまずは示します。
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解答


(1)  \(~S=2~\)
(2)  \(~V_{x}=\displaystyle \frac{1}{2}\pi^2~\)
(3)  \(~V_{y}=2\pi^2~\)


(1)


 グラフは上図のようになるので、
\begin{align}
\displaystyle S&=\int_{0}^{\pi} \sin{x}dx \\
\\
&=\left[ -\cos{x} \right]_{0}^{\pi} \\
\\
&=1-(-1) \\
\\
&=2
\end{align}
と求まる。


(2)

  \(~x~\) 軸の周りに1回転してできる立体の体積 \(~V_x~\) は、
\begin{equation}
V_{x}=\displaystyle \int \pi y^2 dx
\end{equation}
で求まるので、上の図より
\begin{align}
V_{x}&=\displaystyle \int_{0}^{\pi} \pi \sin^2{x} dx \\
\\
&=\pi \int_{0}^{\pi}\sin^2{x} dx \\
\end{align}
 ここで、半角の公式
\begin{equation}
\displaystyle \sin^2{\frac{x}{2}}=\frac{1-\cos{x}}{2} \\
\end{equation}
より、
\begin{equation}
\displaystyle \sin^2{x}=\frac{1-2\cos{x}}{2} \\
\end{equation}
を元の式に代入して、
\begin{align}
V_{x}&=\displaystyle \pi \int_{0}^{\pi}\frac{1-\cos{2x}}{2} dx \\
\\
&=\frac{1}{2}\pi \int_{0}^{\pi} 1-\cos{2x} dx \\
\\
&=\frac{1}{2}\pi \left[ x-\frac{1}{2}\sin{2x} \right]_{0}^{\pi} \\
\\
&=\frac{1}{2}\pi \{ \pi \} \\
\\
&=\frac{1}{2}\pi^2
\end{align}
が求まった。
 
※もちろん \(~\displaystyle \int_{0}^{\pi} \pi \sin^2{x} dx=2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \pi \sin^2{x} dx~\) としても求まります。


(3)

 
 上の図より、
\begin{align}
V_{y}&=\displaystyle \int_{0}^{1} \pi x_{2}^2-\pi x_{1}^2dy \\
\\
&=\pi \int_{0}^{1} x_{2}^2dy – \pi \int_{0}^{1} x_{1}^2dy \\
\end{align}
を求めればよい。
 
 ここで、 \(~y=\sin{x}~\) より、 \(~\displaystyle \frac{dy}{dx}=\cos{x}~\) すなわち、 \(~dy=\cos{x}dx~\) であり、
\(~y: 0 \to 1~\) より、 \(~\displaystyle x_1: 0 \to \frac{\pi}{2},x_2: \pi \to \frac{\pi}{2}~\) なので、

\begin{align}
V_{y}&=\pi \int_{\pi}^{\frac{\pi}{2}} x_{2}^2\cos{x_2}dx_2 – \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x_{1}^2\cos{x_1}dx_1 \\
\end{align}


\begin{align}
V_{y}&=\pi \int_{\pi}^{\frac{\pi}{2}} x_{2}^2\cos{x_2}dx_2 \\
& – \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x_{1}^2\cos{x_1}dx_1 \\
\end{align}

となる。
 
 ここで、それぞれの積分を部分積分で考えると、(積分定数 \(~C~\) は省略)
\begin{align}
\displaystyle &\int x^2 \cos{x}dx \\
\\
&=x^2 \sin{x}-2\int x \sin{x}dx \\
\\
&=x^2 \sin{x}-2 \left( -x\cos{x}+\int \cos{x}dx \right) \\
\\
&=x^2 \sin{x}+2x\cos{x}-2\int \cos{x}dx \\
\\
&=x^2 \sin{x}+2x\cos{x}-2\sin{x}
\end{align}
となるため、元の式に利用して

\begin{align}
V_{y}&=\pi \left[ x^2 \sin{x}+2x\cos{x}-2\sin{x}\right]_{\pi}^{\frac{\pi}{2}}-\pi \left[x^2\sin{x}+2x\cos{x}-2\sin{x} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\
\\
&=\pi \left\{ \left( \frac{\pi^2}{4}-2 \right)- \left( -2\pi \right) \right\}-\pi \left\{ \frac{\pi^2}{4}-2 \right\} \\
\\
&=\pi \left( \frac{\pi^2}{4}-2+2\pi \right)-\pi \left( \frac{\pi^2}{4}-2 \right) \\
\\
&=\frac{\pi^3}{4}-2\pi+2\pi^2-\frac{\pi^3}{4}+2\pi \\
\\
&=2\pi^2
\end{align}


\begin{align}
V_{y}&=\pi \left[ x^2 \sin{x}+2x\cos{x}-2\sin{x}\right]_{\pi}^{\frac{\pi}{2}} \\
& -\pi \left[x^2\sin{x}+2x\cos{x}-2\sin{x} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\
\\
&=\pi \left\{ \left( \frac{\pi^2}{4}-2 \right)- \left( -2\pi \right) \right\} \\
& -\pi \left\{ \frac{\pi^2}{4}-2 \right\} \\
\\
&=\pi \left( \frac{\pi^2}{4}-2+2\pi \right)-\pi \left( \frac{\pi^2}{4}-2 \right) \\
\\
&=\frac{\pi^3}{4}-2\pi+2\pi^2-\frac{\pi^3}{4}+2\pi \\
\\
&=2\pi^2
\end{align}

が求まった。


 よくあるタイプの問題。ここは確実に正解しておきたいところ!

   
 
 


◇参考文献等
・『私学教員適性検査問題集 数学(平成29年度~31年度)』