和の記号Σの公式

シグマ記号$ \sum $の公式について紹介します。高校数学で習う$ \displaystyle \sum_{k=1}^{n}1, \sum_{k=1}^{n}k ,\sum_{k=1}^{n}k^2 ,\sum_{k=1}^{n}k^3 $だけでなく、$ \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^4 $以降の求め方や$ \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{10} $までの公式も載せています。

①高校数学までの$ \sum $公式
②$ \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^4 $の求め方
③$ \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{10} $までの公式



目次

①高校数学までの$ \sum $公式

$ \sum $記号の公式

数列の和を表すときに使う、$ \sum $記号について、以下の式が成り立つ。
\begin{align}
\text{①}& \displaystyle \sum_{k=1}^{n}1=n \\
\\
\text{②}& \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1) \\
\\
\text{③}& \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\
\\
\text{④}& \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^3=\left\{ \frac{1}{2}n(n+1) \right\}^2 \\
\end{align}

高校数学においては、ここまで暗記することが求められます。ここでは、①と②の公式について、簡単に証明しておきます。

証明

①$ \sum $記号の意味から考えればよい。
\begin{align}
\sum_{k=1}^{n}1&=1+1+\cdots+1 \ \ \ \ \ \ \ \text{(1を$ n~$ 回たす)} \\
&=n \ \ \ \ \blacksquare
\end{align}

②同様に、$ \sum $記号の意味から考えていくと、
\begin{equation}
\sum_{k=1}^{n}k=1+2+3+\cdots+n \ \ \ \ \ \ \ \text{(1から $~n~$ までたす)}
\end{equation}
この数列は、初項1、末項 $~n~$ 、項数 $~n~$ の等差数列なので、
\begin{equation}
\text{(上式)}=\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1) \ \ \ \ \blacksquare
\end{equation}

③,④の証明方法については、次に紹介する$ \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^4 $の求め方と同様の方法でできます。↓↓


②$ \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^4 $の求め方

 ということで、学校では習わない$ \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^4 $の公式とその求め方を紹介します。

4乗和の公式

\begin{equation}
\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^4=\frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)
\end{equation}

$ \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2 $と似てるような似てないような・・・。
では、証明に移ります。

証明


等式
\begin{equation}
(k+1)^5-k^5 =5k^4+10k^3+10k^2+5k+1
\end{equation}
を考える。両辺$ k=1 $から$ k=n $までの和、すなわち$ \displaystyle \sum_{k=1}^{n}~$ をとると、
\begin{equation}
\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \{(k+1)^5-k^5 \}=\sum_{k=1}^{n} (5k^4+10k^3+10k^2+5k+1 ) \text{・・・(*)}
\end{equation}
となる。
まず、左辺を式変形していくと、
\begin{align}
&(左辺)\\
\\
&=(2^5-1^5)+(3^5-2^5)+(4^5-3^5)+\cdots+\{(n+1)^5-n^5\} \\
&=(n+1)^5-1 \\
&=(n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n+1)-1 \\
&=n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n
\end{align}
同様に、右辺を式変形していくと、
\begin{align}
&(右辺)\\
\\
&=\displaystyle 5\sum_{k=1}^{n}k^4+10\sum_{k=1}^{n}k^3+10\sum_{k=1}^{n}k^2+5\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}1 \\
\\
&=5\sum_{k=1}^{n}k^4+10\cdot\left\{ \frac{1}{2}n(n+1) \right\}^2+10\cdot\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+5\cdot\frac{1}{2}n(n+1)+n \\
\\
&=5\sum_{k=1}^{n}k^4+\frac{5}{2}n^2(n+1)^2 +\frac{5}{3}n(n+1)(2n+1)+\frac{5}{2}n(n+1)+n \\
\\
&=5\sum_{k=1}^{n}k^4+\frac{5}{2}n^2(n^2+2n+1) +\frac{5}{3}n(2n^2+3n+1)+\frac{5}{2}n(n+1)+n \\
\\
&=5\sum_{k=1}^{n}k^4+\frac{5}{2}n^4+5n^3+\frac{5}{2}n^2+\frac{10}{3}n^3+5n^2+\frac{5}{3}n+\frac{5}{2}n^2+\frac{5}{2}n+n \\
\\
&=5\sum_{k=1}^{n}k^4+\frac{5}{2}n^4+\frac{25}{3}n^3+10n^2+\frac{31}{6}n \\
\end{align}
よって、(*)の式は、
\begin{equation}
\displaystyle n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n=5\sum_{k=1}^{n}k^4+\frac{5}{2}n^4+\frac{25}{3}n^3+10n^2+\frac{31}{6}n
\end{equation}
となり、式変形をしていくと、
\begin{align}
\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^4&=\frac{1}{5}\left( n^5+\frac{5}{2}n^4+\frac{5}{3}n^3-\frac{1}{6}n \right)\\
\\
&=\frac{1}{30}n ( 6n^4+15n^3+10n^2-1) \\
\\
&=\frac{1}{30}n(n+1) ( 6n^3+9n^2+n-1) \\
\\
&=\frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)( 3n^2+3n-1) \\
\end{align}
よって、求めたい式が出ました。$ \blacksquare$


等式
\begin{equation}
(k+1)^5-k^5 =5k^4+10k^3+10k^2+5k+1
\end{equation}
を考える。両辺$ k=1 $から$ k=n $までの和、すなわち$ \displaystyle \sum_{k=1}^{n}~$ をとると、
\begin{multline}
\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \{(k+1)^5-k^5 \} \\
=\sum_{k=1}^{n} (5k^4+10k^3+10k^2+5k+1 ) \text{・・・(*)}
\end{multline}
となる。
まず、左辺を式変形していくと、
\begin{align}
&(左辺) \\
&=(2^5-1^5)+(3^5-2^5)+\cdots+\{(n+1)^5-n^5\} \\
&=(n+1)^5-1 \\
&=(n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n+1)-1 \\
&=n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n
\end{align}
同様に、右辺を式変形していくと、
\begin{align}
&(右辺) \\
&=\displaystyle 5\sum_{k=1}^{n}k^4+10\sum_{k=1}^{n}k^3 \\
&+10\sum_{k=1}^{n}k^2+5\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}1 \\
\\
&=5\sum_{k=1}^{n}k^4+10\cdot\left\{ \frac{1}{2}n(n+1) \right\}^2 \\
&+10\cdot\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\
&+5\cdot\frac{1}{2}n(n+1)+n \\
\\
&=5\sum_{k=1}^{n}k^4+\frac{5}{2}n^2(n+1)^2 \\
&+\frac{5}{3}n(n+1)(2n+1)+\frac{5}{2}n(n+1)+n \\
\\
&=5\sum_{k=1}^{n}k^4+\frac{5}{2}n^2(n^2+2n+1) \\
&+\frac{5}{3}n(2n^2+3n+1)+\frac{5}{2}n(n+1)+n \\
\\
&=5\sum_{k=1}^{n}k^4+\frac{5}{2}n^4+5n^3+\frac{5}{2}n^2 \\
&+\frac{10}{3}n^3+5n^2+\frac{5}{3}n+\frac{5}{2}n^2+\frac{5}{2}n+n \\
\\
&=5\sum_{k=1}^{n}k^4+\frac{5}{2}n^4+\frac{25}{3}n^3+10n^2+\frac{31}{6}n \\
\end{align}
よって、(*)の式は、
\begin{multline}
\displaystyle n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n \\
=5\sum_{k=1}^{n}k^4+\frac{5}{2}n^4+\frac{25}{3}n^3+10n^2+\frac{31}{6}n
\end{multline}
となり、式変形をしていくと、
\begin{align}
\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^4&=\frac{1}{5}\left( n^5+\frac{5}{2}n^4+\frac{5}{3}n^3-\frac{1}{6}n \right)\\
\\
&=\frac{1}{30}n ( 6n^4+15n^3+10n^2-1) \\
\\
&=\frac{1}{30}n(n+1) ( 6n^3+9n^2+n-1) \\
\\
&=\frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)( 3n^2+3n-1) \\
\end{align}
よって、求めたい式が出た。$ \blacksquare$

同様に、$ \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2 $なら、$ (k+1)^3-k^3~$ を、
$ \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^3 $なら、$ (k+1)^4-k^4~$ を、考えてあげることで証明できます。


③$ \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{10} $までの公式

 ということで、以上の方法を使うと無限に式を生産できます。
大変面倒です!5乗でさえも、A4用紙2枚使いました。

$ \sum_{k=1}^{n}k^{10} $までの公式


\begin{align}
\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{0}&=n \\
\\
\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{1}&=\frac{1}{2}n(n+1) \\
\\
\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{2}&=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\
\\
\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{3}&=\frac{1}{4}n^2(n+1)^2 \\
\\
\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{4}&=\frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1) \\
\\
\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{5}&=\frac{1}{12}n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1) \\
\\
\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{6}&=\frac{1}{42}n(n+1)(2n+1)(3n^4+6n^3-3n+1) \\
\\
\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{7}&=\frac{1}{24}n^2(n+1)^2(3n^4+6n^3-n^2-4n+2) \\
\\
\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{8}&=\frac{1}{90}n(n+1)(2n+1)(5n^6+15n^5+5n^4-15n^3-n^2+9n-3) \\
\\
\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{9}&=\frac{1}{20}n^2(n+1)^2(n^2+n-1)(2n^4+4n^3-n^2-3n+3) \\
\\
\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{10}&=\frac{1}{66}n(n+1)(2n+1)(n^2+n-1) \\
&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(3n^6+9n^5+2n^4-11n^3+3n^2+10n-5) \\
\end{align}


\begin{align}
\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{0}&=n \\
\\
\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{1}&=\frac{1}{2}n(n+1) \\
\\
\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{2}&=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\
\\
\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{3}&=\frac{1}{4}n^2(n+1)^2 \\
\\
\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{4}&=\frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1) \\
\\
\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{5}&=\frac{1}{12}n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1) \\
\\
\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{6}&=\frac{1}{42}n(n+1)(2n+1)(3n^4+6n^3-3n+1) \\
\\
\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{7}&=\frac{1}{24}n^2(n+1)^2(3n^4+6n^3-n^2-4n+2) \\
\\
\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{8}&=\frac{1}{90}n(n+1)(2n+1) \\
&~~~~~~~~(5n^6+15n^5+5n^4-15n^3-n^2+9n-3) \\
\\
\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{9}&=\frac{1}{20}n^2(n+1)^2(n^2+n-1) \\
&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2n^4+4n^3-n^2-3n+3) \\
\\
\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{10}&=\frac{1}{66}n(n+1)(2n+1)(n^2+n-1) \\
&~~~~~~~(3n^6+9n^5+2n^4-11n^3+3n^2+10n-5) \\
\end{align}

 なんか規則性ありそうですね・・。


計算が面倒ですけど、この証明の方法を知っていれば、$ \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^N $で、 $~N $がどんな値でも、地道にがんばっていけば求められそうですね。
2020.4.19 暇すぎて$~N=5~$を求めたものの、大変過ぎて残りはWolfram Alphaに・・・

   
 
 

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