解と係数の関係(二次方程式)

数学Ⅱ方程式・不等式数学Ⅱ

数学Ⅱで学び、大学受験でも頻繁に登場する「解と係数の関係」。この記事では、二次方程式の解と係数の関係の導き方や実際の利用例を挙げます。

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Ⅰ 二次方程式の解と係数の関係

 まずはどのような関係式かを確認しておきましょう。

二次方程式の解と係数の関係

 二次方程式\(~ax^2+bx+c=0~~~(a \neq 0)~\)の2つの解を\(~\alpha~,~\beta~\)とすると、
\begin{equation}
\alpha+\beta=-\frac{\beta}{\alpha}~,~\alpha \beta=\frac{c}{a}
\end{equation}
が成り立つ。

 \(~\alpha~,~\beta~\)が無理数や複素数になったとしても、この関係式は成り立ちます。
 
 なぜ、ここまでシンプルな式になるのかを2通りの方法で証明しましょう。

証明1

 二次方程式\(~ax^2+bx+c=0~~~(a \neq 0)~\)を解の公式で解くことで、

\begin{equation}
\alpha=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}~,~\beta=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{equation}

\begin{align}
\alpha&=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\
\\
\beta&=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{align}

と表せる。
 
 \(~\alpha+\beta~,~\alpha\beta~\)の値をそれぞれ計算すると、

\begin{align}
\alpha+\beta&=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\
\\
&=\frac{-2b}{2a} \\
\\
&=-\frac{b}{a}\\
\\
\alpha \beta&=\left(\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\left(\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right) \\
\\
&=\frac{(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2}{4a^2} \\
\\
&=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2} \\
\\
&=\frac{4ac}{4a^2} \\
\\
&=\frac{c}{a} \\
\end{align}

\begin{align}
&~~~\alpha+\beta \\
\\
&=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\
\\
&=\frac{-2b}{2a} \\
\\
&=-\frac{b}{a}\\
\\
&~~~\alpha \beta \\
\\
&=\left(\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\left(\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right) \\
\\
&=\frac{(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2}{4a^2} \\
\\
&=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2} \\
\\
&=\frac{4ac}{4a^2} \\
\\
&=\frac{c}{a} \\
\end{align}

とそれぞれ求まった。\(~~~\blacksquare~\)

 教科書にも載っている証明方法でした。
 
 もう1つは、解から逆算する方法です。

証明2

 二次方程式\(~ax^2+bx+c=0~~~(a \neq 0)~\)の両辺を\(~a~\)でわると、
\begin{equation}
x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0~~~\cdots ①
\end{equation}
という\(~x^2~\)の係数が\(~1~\)の二次方程式となる。
 
 この二次方程式の解が\(~x=\alpha~,~\beta~\)となるので、因数分解で解いた時の直前の式は、
\begin{equation}
(x-\alpha)(x-\beta)=0
\end{equation}
である。これを展開すると、
\begin{align}
x^2-\beta x -\alpha x+\alpha \beta&=0 \\
x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha \beta&=0~~~\cdots ②
\end{align}
であるため、\(①\)と\(②\)を係数比較することで、
\begin{equation}
\alpha+\beta=-\frac{b}{a}~,~\alpha \beta=\frac{c}{a}
\end{equation}
が求まる。\(~~~\blacksquare~\)

 個人的には2つ目の証明方法の方が美しいように思えます。
 
 また、2つ目の方法は、3次以上の方程式の解と係数の関係を求めることにも応用できます。


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Ⅱ 利用例

 解と係数の関係には、大きく分けて2パターンの利用例があります。
 その2パターンとは、

  • 対称式
  • 和と積の連立方程式

です。
 
 それぞれに関する問題を見てみましょう。

例題1

 2次方程式\(~x^2+x+2=0~\)の2つの解を\(~\alpha~,~\beta~\)とする。
 このとき、\(~\alpha^3+\beta^3~\)の値はいくつか。(京都産業大学2010)

 解の公式を使って、
\begin{equation}
\alpha=\frac{-1+\sqrt{7}i}{2}~,~\beta=\frac{-1-\sqrt{7}i}{2}
\end{equation}
として、それらを3乗することでも理論上求まりますが、時間はかかるし、計算ミスしやすいしで良いことありません。
 
 そこで、解と係数の関係を使うことで、対称式の問題に帰着できます。

例題1の解法

 解と係数の関係より、
\begin{align}
\alpha+\beta&=-\frac{1}{1}=-1 \\
\\
\alpha \beta&=\frac{2}{1}=2
\end{align}
なので、
\begin{align}
\alpha^3+\beta^3&=(\alpha+\beta)^3-3 \alpha \beta(\alpha+\beta) \\
&=(-1)^3-3 \cdot 2 \cdot (-1) \\
&=-1+6 \\
&=5
\end{align}

 解と係数の関係の威力がおわかりいただけたでしょうか。
 
 次に、もう1パターンの例題を見てみましょう。

例題2

 次の連立方程式を複素数の範囲で解きなさい。(数学検定1級2006)
\begin{cases}
x^3+xy+y^3&=11 ~~~\cdots ① \\
x^3-xy+y^3&=7 ~~~\cdots ①
\end{cases}

 こちらはなんと数学検定1級の問題です。
 式変形をしていくことで、\(~x^3~\)と\(~y^3~\)に関する和と積の連立方程式が現れます。

例題2の解法

 \(①+②\)より、
\begin{align}
2x^3+2y^3&=18 \\
x^3+y^3&=9 ~~~\cdots ③
\end{align}
 \(①-②\)より、
\begin{align}
2xy&=4 \\
xy&=2 ~~~\cdots ④
\end{align}
 \(④\)の両辺を\(~3~\)乗して、
\begin{equation}
x^3y^3=8 ~~~\cdots ⑤
\end{equation}
であるため、\(③~,~⑤\)により、解と係数の関係から、\(~x^3~,~y^3~\)を解にもつ二次方程式を作ることができる。
\begin{equation}
t^2-9t+8=0
\end{equation}
 これを解くと、\(~t=1~,~8~\)なので、
\begin{equation}
(~x^3~,~y^3~)=(~1~,~8~)~,~(~8~,~1~)
\end{equation}
と求まる。
 
 \(~x^3=1~\)のとき、
\begin{equation}
x=1~,~\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}~,~\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}
\end{equation}
で、このとき\(~y^3=8~\)なので
\begin{equation}
y=2~,~-1+\sqrt{3}i~,~-1-\sqrt{3}i
\end{equation}
となる。
 \(④\)より、\(~xy=2~\)となる\(~x~\)と\(~y~\)の組み合わせから、

\begin{equation}
(~x~,~y~)=(~1~,~2~)~,~\left(~\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}~,~-1-\sqrt{3}i~\right)~,~\left(~\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}~,~-1+\sqrt{3}i~\right)
\end{equation}

\begin{align}
(~x~,~y~)&=(~1~,~2~)~, \\
&~~\left(~\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}~,~-1-\sqrt{3}i~\right)~,\\
&~~\left(~\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}~,~-1+\sqrt{3}i~\right)
\end{align}

と解が3組求まった。
 
 \(~x^3=8~\)のときも同様に、

\begin{equation}
(~x~,~y~)=(~2~,~1~)~,~\left(~-1+\sqrt{3}i~,~\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}~\right)~,~\left(~-1-\sqrt{3}i~,~\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}~\right)
\end{equation}

\begin{align}
(~x~,~y~)&=(~2~,~1~)~, \\
&~~\left(~-1+\sqrt{3}i~,~\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}~\right)~, \\
&~~\left(~-1-\sqrt{3}i~,~\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}~\right)
\end{align}

と解が3組求まるため、以上より計6組の\(~(~x~,~y~)~\)が求めたい解となる。

 解と係数の関係は、数検1級レベルの難問を解く上でも必要であり、非常に応用力の高い関係式と言えるでしょう。
 
 ちなみに、紀元前のバビロニアでもこの関係を利用して、二次方程式が解かれていた記録があります。(「数学史3-6 ~バビロニアの数学(二次方程式)~」参照)
 
 昔から多様な使われ方をしていたことがわかります。


普通に解求めちゃえばいいじゃん! と思っていたけど、解と係数の関係便利だね。
ふくすけ汗
問題が難しいほど、解と係数の関係を覚えていないと大変だよ。

◇参考文献等
・(2017)『詳説 数学Ⅱ—改訂版—』,pp.42-43,啓林館.
・江川博康(2020)『合格ナビ!数学検定1級1次 解析・確率統計』,pp.23-24,東京図書.