孫子(数学者)〜『孫子算経』を解説！中国剰余の定理と鶴亀算の問題とは？【数学史5−9】

　中国古代の数学書『孫子算経』を著したことで知られる数学者・孫子（そんし）。

　その正体は多くの謎に包まれていますが、孫子が著した『孫子算経』は中国数学における重要な功績とされています。

　とりわけ、中国剰余の定理や鶴亀算の最古の記述が含まれており、後世の数学に大きな影響を与えました。

　数学者孫子の生涯と功績を数学史ライターFukusukeが解説！

　この記事を読むことで、中国剰余の定理と鶴亀算の起源を知ることができます。

 この記事を書いた人 

Fukusuke（ふくすけ）
数学史の先生

1. 現役の中学・高校数学教員
2. 著書2冊重刷、ブログ累計200万PV達成
3. ブログでは、式変形をとにかくていねいに記述

 この記事を書いた人 

Fukusuke（ふくすけ）
数学史の先生

• 現役の中学・高校数学教員
• 著書2冊重刷、ブログ累計200万PV達成
• ブログでは、式変形をとにかくていねいに記述
• 作図や文章校正、Texの打ち込みは文系妻が担当

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孫子の生涯

　孫子（Sunzi , 3世紀初め）は中国で活躍した数学者です。

　しかし、実際の人物像についてはほとんど記録が残っておらず、詳細な生涯は不明です。

　代表作『孫子算経』の成立時期やその記述内容から、魏晋南北朝時代（3〜5世紀）に活動していたと推定されています。

　儒教的な教養を持ちつつ、実用的な算術教育にも通じた人物であったといわれています。

兵法書で有名な軍師の孫子は紀元前500年頃の人。
数学者の孫子の生涯は明らかになっていないものの、軍師である孫子とは別人なのは明らかです。

孫子の年譜

　『孫子算経』の問題に載っている単位や地名から、孫子は南北朝時代（439年〜581年）に活躍したという説もあります。

　ただ、改良を加えられながら発行された版が『孫子算経』には多くあるため、孫子の活躍時期が特定できていません。

見つかっている『孫子算経』は南北朝時代の成立と考えられているものの、これが孫子オリジナルのものかどうかがわかっていないため、孫子の生年代に多数の説が生まれているんだ。

孫子の活動場所

　孫子の活動場所についても、正確な地域は分かっていません。

　南北朝時代に活躍したという説によれば、『孫子算経』に使用されている用語や文化的背景から、魏晋南北朝時代の中国北部で活動していた可能性が高いとされています。

孫子の功績：『孫子算経』を書いた

　『孫子算経』は九章算術や他の古代数学書とは異なる独自の問題構成を持ち、日常生活に即した実用的な問題が多く含まれています。

　これにより、実務的な算術教育の発展に寄与しました。

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中国剰余の定理を初めて扱った

『孫子算経』の第3巻には、現在「中国剰余の定理」として知られる問題が登場します。

　現代語訳すると、以下のような問題、答え、解説となります。

　この方法は、3, 5, 7 に対するそれぞれの余りに該当する「素となる部分」をかけ合わせた値を用い、その和から公倍数を引くことで最小の正の解を導く、まさしく現代の中国剰余定理の原型です。

　なぜこの方法で$~23~$が求められるのかを、合同式を使って考えると以下の通りになります。

5\times7\times4\equiv2~(mod~3)\cdots①

3\times7\times3\equiv3~(mod~5)\cdots②

3\times5\times2\equiv2~(mod~7)\cdots③

A=5\times7\times4+3\times7\times3+3\times5\times2-3\times5\times7\times{n}

A\equiv2+0+0-0=2~(mod~3)

A\equiv0+3+0-0=3~(mod~5)

A\equiv0+0+2-0=2~(mod~7)

　その後、同様の問題でも解けるように研究された中国剰余の定理は、今の記法で書くと以下のようになります。

\begin{cases}
x \equiv a ~~&(\mod{m}~~~)  \\
x \equiv b ~~&(\mod{n}~~~~)
\end{cases}

　『孫子算経』の問題は、数論の重要な先駆例であり、近代数学の合同式理論へとつながる源流となりました。

鶴亀算を初めて扱った

　また、『孫子算経』では雉きじと兎うさぎの足の数から個体数を求める「雉兎同籠」の問題も見られます。

　これは、後に日本に伝わり、「鶴亀算」として発展するものです。

　この種の問題は連立一次方程式の初等的な応用例として、日本の和算などにも影響を与えました。

　解法①の下線部は、算木に基づく計算手順が書かれているため、ややまどろっこしい表現になっています。

　解法②の下線部は、足の数の半分（47）と頭の数（35）を使うことで答えが得られることを主張しています。
　実際、以下のように求めることができます。

　まさに「鶴亀算」の解法です。

　この「雉兎同籠」の問題が日本に伝わり、江戸時代の和算で「鶴亀算」として定着していきました。

まとめ

　中国の数学者、孫子の生涯と功績について解説してきました。

• 主著『孫子算経』は中国古代数学を代表する重要文献
• 中国剰余の定理の元となる問題を記した。
• 後の鶴亀算につながる「雉兎同籠」という問題を記した。

今でも鶴亀算は小学生の算数で扱われて、子どもたちの頭を悩ませているよね。

中国剰余の定理も、数論の先駆けとなる大事な定理だよ。