超完全数

 「完全数」はそれなりの知名度を持ちますが、そのパワーアップ版(?)である「超完全数」について紹介します。


目次

Ⅰ 超完全数の定義

 以前の記事で「完全数」については紹介しました。今回の「超完全数」は何が”超”なのかを見てみましょう。

超完全数の定義1

 ある数の約数の和について、その和の約数の和をとったとき、元の数の$~2~$倍と等しくなる自然数を超完全数という。

日本語で説明をしようとすると、ちょっとわかりにくいですね・・・。
そこで、約数関数 $~\sigma(n)~$ を使って表してみます。

超完全数の定義2

 超完全数とは、次の式を満たす自然数 $~n~$ のことである。
\begin{equation}
\sigma^2(n)=2n
\end{equation}

ちょっと解説。
まず約数関数 $~\sigma(n)~$ は「 $~n~$ の約数の総和」を意味する関数です。
次に $~\sigma^2(n)~$ は、約数関数を2回行うこと、すなわち $~\sigma^2(n)=\sigma(\sigma(n))~$ を表します。
 
また、約数関数ではその数自身も約数に当然含まれてしまうため、右辺はもとの数を2倍したものとなっています。
 
ちなみに、完全数を約数関数を使って定義すると、次のようになります。
\begin{equation}
\sigma(n)=2n
\end{equation}
これでおわかりのように、超完全数は完全数で行う約数関数の操作を2回行っているので、“超”なのです。


Ⅱ 超完全数の例

では、実際に例を挙げてみましょう。

① 1は超完全数ではない
\begin{align}
(左辺)&=\sigma(\sigma(1)) \\
&=\sigma(1) \\
&=1
\end{align}
\begin{align}
(右辺)&=2 \cdot 1 \\
&=2
\end{align}
よって、1は超完全数ではない。
 
② 2は超完全数
\begin{align}
(左辺)&=\sigma(\sigma(2)) \\
&=\sigma(1+2) \\
&=\sigma(3) \\
&=1+3 \\
&=4
\end{align}
\begin{align}
(右辺)&=2 \cdot 2 \\
&=4
\end{align}
よって、2は超完全数である。
 
③ 3は超完全数ではない
\begin{align}
(左辺)&=\sigma(\sigma(3)) \\
&=\sigma(1+3) \\
&=\sigma(4) \\
&=1+2+4 \\
&=7
\end{align}
\begin{align}
(右辺)&=2 \cdot 3 \\
&=6
\end{align}
よって、3は超完全数ではない。
 
④ 4は超完全数
\begin{align}
(左辺)&=\sigma(\sigma(4)) \\
&=\sigma(1+2+4) \\
&=\sigma(7) \\
&=1+7 \\
&=8
\end{align}
\begin{align}
(右辺)&=2 \cdot 4 \\
&=8
\end{align}
よって、4は超完全数である。
 

ちなみに、超完全数は
\begin{equation}
2,4,16,64,4096,65536,\cdots
\end{equation}
と続きます。完全数よりもレア度は低いようですね・・・。


手続き上の関係から「超完全数」と名付けられた自然数たちですが、「完全数」とはあまり関係ないのが残念(><)

   
 
 


◇参考文献等
・「Wikipedia」,<https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%95%B0 > 2018年6月28日アクセス

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コメント

コメント一覧 (3件)

  • こちらこそ、知識をただで頂いているので感謝です。
    今後ともよろしくお願いいたします。

  • はじめまして。
    普段数学に携わってるわけでもないただの会社員です。

    気になったことがあり、コメントさせていただきました。
    超完全数の日本語の説明文なのですが
    [その数自身を除く約数の和]について、[その和自身を除く約数の和]をとったとき、元の数と等しくなる自然数を超完全数という。
    2や4を上記の通り計算をしても、もとの数と等しくならないです。
    なので、日本語の説明として
    ある自然数の約数の和について、その和の約数の和をとったとき、元の数の2倍と等しくなる自然数を超完全数という。
    と、定義2において行っている計算をそのまま日本語にした方が正確なのではないかと考えたのですが、どうでしょうか?

    私の計算ミスや見落としがあればご指摘いただけると幸いです。

    • しゃなたんさん

       ご指摘ありがとうございます。
       確かに日本語の説明文、間違っておりました。
       完全数の定義を引きずってしまい、ミスをしていたようです。
       しゃなたんさんのコメントを参考に、定義1を書き直しました。
       
       コメントいただき、助かります。
       今後ともどうぞよろしくお願いいたします。

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