超完全数

数学雑学数論数学雑学

 「完全数」はそれなりの知名度を持ちますが、そのパワーアップ版(?)である「超完全数」について紹介します。


目次
  • 1. Ⅰ 超完全数の定義
  • 2. Ⅱ 超完全数の例

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Ⅰ 超完全数の定義

 以前の記事で「完全数」については紹介しました。今回の「超完全数」は何が"超"なのかを見てみましょう。

超完全数の定義1

 ある数の約数の和について、その和の約数の和をとったとき、元の数の\(~2~\)倍と等しくなる自然数を超完全数という。

日本語で説明をしようとすると、ちょっとわかりにくいですね・・・。
そこで、約数関数 \(~\sigma(n)~\) を使って表してみます。

超完全数の定義2

 超完全数とは、次の式を満たす自然数 \(~n~\) のことである。
\begin{equation}
\sigma^2(n)=2n
\end{equation}

ちょっと解説。
まず約数関数 \(~\sigma(n)~\) は「 \(~n~\) の約数の総和」を意味する関数です。
次に \(~\sigma^2(n)~\) は、約数関数を2回行うこと、すなわち \(~\sigma^2(n)=\sigma(\sigma(n))~\) を表します。
 
また、約数関数ではその数自身も約数に当然含まれてしまうため、右辺はもとの数を2倍したものとなっています。
 
ちなみに、完全数を約数関数を使って定義すると、次のようになります。
\begin{equation}
\sigma(n)=2n
\end{equation}
これでおわかりのように、超完全数は完全数で行う約数関数の操作を2回行っているので、“超"なのです。


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Ⅱ 超完全数の例

では、実際に例を挙げてみましょう。

① 1は超完全数ではない
\begin{align}
(左辺)&=\sigma(\sigma(1)) \\
&=\sigma(1) \\
&=1
\end{align}
\begin{align}
(右辺)&=2 \cdot 1 \\
&=2
\end{align}
よって、1は超完全数ではない。
 
② 2は超完全数
\begin{align}
(左辺)&=\sigma(\sigma(2)) \\
&=\sigma(1+2) \\
&=\sigma(3) \\
&=1+3 \\
&=4
\end{align}
\begin{align}
(右辺)&=2 \cdot 2 \\
&=4
\end{align}
よって、2は超完全数である。
 
③ 3は超完全数ではない
\begin{align}
(左辺)&=\sigma(\sigma(3)) \\
&=\sigma(1+3) \\
&=\sigma(4) \\
&=1+2+4 \\
&=7
\end{align}
\begin{align}
(右辺)&=2 \cdot 3 \\
&=6
\end{align}
よって、3は超完全数ではない。
 
④ 4は超完全数
\begin{align}
(左辺)&=\sigma(\sigma(4)) \\
&=\sigma(1+2+4) \\
&=\sigma(7) \\
&=1+7 \\
&=8
\end{align}
\begin{align}
(右辺)&=2 \cdot 4 \\
&=8
\end{align}
よって、4は超完全数である。
 

ちなみに、超完全数は
\begin{equation}
2,4,16,64,4096,65536,\cdots
\end{equation}
と続きます。完全数よりもレア度は低いようですね・・・。


手続き上の関係から「超完全数」と名付けられた自然数たちですが、「完全数」とはあまり関係ないのが残念(><)

   
 
 


◇参考文献等
・「Wikipedia」,<https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%95%B0 > 2018年6月28日アクセス

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Posted by Fuku