テイラー級数によるロピタルの定理の証明

大学・一般数学微分・積分, 極限大学・一般数学, 極限

コーシーの平均値からそれぞれ導かれるテイラー級数とロピタルの定理。
 この記事では、テイラー級数を使ってロピタルの定理を証明します。

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Ⅰ テイラー級数とロピタルの定理

 まずはテイラー級数を確認します。

テイラー級数

 ある区間において、\(~f(x)~\)は無限回微分可能とする。
 その区間内の定点 \(~a~\)、任意の点\(~x~\)に対し、

\begin{equation}
\lim_{n \to \infty}{R_n}=\lim_{n \to \infty}{\frac{f'(\xi)}{n!}(x-a)^n}=0~~~~(x \lessgtr \xi \lessgtr a)
\end{equation}

\begin{align}
\lim_{n \to \infty}{R_n}=\lim_{n \to \infty}{\frac{f'(\xi)}{n!}(x-a)^n}&=0 \\
(x \lessgtr \xi &\lessgtr a)
\end{align}

のとき、

\begin{align}
f(x)&=f(a)+(x-a)\frac{f'(a)}{1!}+(x-a)^2\frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}+\cdots+(x-a)^n\frac{f^{(n)}(a)}{n!}+\cdots
\end{align}

\begin{align}
f(x)&=f(a)+(x-a)\frac{f'(a)}{1!}+(x-a)^2\frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}\\
&~~~+(x-a)^n\frac{f^{(n)}(a)}{n!}+\cdots
\end{align}

となり、この右辺を\(~f(x)~\)のテイラー級数という。

 \(~a=0~\)とすれば、マクローリン級数となります。
 例として、\(~f(x)=\sin{x}~\)であれば、
\begin{equation}
\sin{x}=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\frac{1}{7!}x^7+\cdots
\end{equation}
となり、近似計算をするうえで非常に有用でした。
 
 極限計算をする上でも、次のように使えます。

例1

\(~\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{x-\sin{x}}{x^3}~\)の場合
\begin{align}
&~~~\lim_{x \to 0}\frac{x-\sin{x}}{x^3} \\
\\
&=\lim_{x \to 0}\frac{x-\left( x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\frac{1}{7!}x^7+\cdots \right)}{x^3} \\
\\
&=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{3!}x^3-\frac{1}{5!}x^5+\frac{1}{7!}x^7-\cdots }{x^3} \\
\\
&=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{3!}-\frac{1}{5!}x^2+\frac{1}{7!}x^4-\cdots }{1} \\
\\
&=\frac{\frac{1}{3!}}{1} \\
\\
&=\frac{1}{6}
\end{align}
と求まる。

 \(~\sin{x}~\)をマクローリン展開することで、分母の\(~x~\)を消すことができました。
 
 次にロピタルの定理を確認します。

ロピタルの定理

 \(~c~\)を含むある開区間\(~I~\)で微分可能な\(~f(x)~,~g(x)~\)において、
\begin{equation}
\lim_{x \to c}f(x)=\lim_{x \to c}g(x)=0
\end{equation}
または
\begin{equation}
\lim_{x \to c}f(x)=\lim_{x \to c}g(x)= \infty
\end{equation}
が満たされたうえで、
\begin{equation}
g^{\prime}(x)\neq 0~~~~(~x \in I\setminus\{c\}~)
\end{equation}
とする。
 このとき、\(~\displaystyle \lim_{x \to c}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}~\)が存在すれば、
\begin{equation}
\lim_{x \to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to c}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}
\end{equation}
が成り立つ。

 こちらは不定形の極限の計算において、役立つ定理です。
 高校数学では「はさみうちの原理」や置き換えを使って必死に求めるような極限計算も、ロピタルの定理を使えば一瞬で解けるようなこともしばしばあります。
 
 例1と同様の例を解いてみます。

例2

\(~\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{x-\sin{x}}{x^3}~\)の場合
 ロピタルの定理を繰り返し使うと、
\begin{align}
\displaystyle \lim_{x \to 0}{\frac{x-\sin{x}}{x^3}}&=\lim_{x \to 0}{\frac{1-\cos{x}}{3x^2}} \\
\\
&=\lim_{x \to 0}{\frac{\sin{x}}{6x}} \\
\\
&=\lim_{x \to 0}{\frac{\cos{x}}{6}} \\
\\
&=\frac{1}{6}
\end{align}
と求まる。

 実際にこの極限を高校数学で求めようとすると、置き換えの工夫が必要で難易度が高めです。(→「難しい極限①」へ)
 
 この記事では、不定形の極限キラーであるロピタルの定理を、近似値計算にまで万能なテイラー級数を使って証明していきます。


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Ⅱ ロピタルの定理の証明

 コーシーの平均値の定理を利用したロピタルの定理の証明のように、3つの場合分けを用います。

証明

(i) \(~\displaystyle \lim_{x \to c}f(x)=\lim_{x \to c}g(x)=0~\)のとき、
 \(~f(x)~\)と\(~g(x)~\)を\(~c~\)のまわりでテイラー展開すると、

\begin{equation}
\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(c)+\frac{f^{\prime}(c)}{1!}(x-c)+\frac{f^{\prime \prime}(c)}{2!}(x-c)^2+\cdots}{g(c)+\frac{g^{\prime}(c)}{1!}(x-c)+\frac{g^{\prime \prime}(c)}{2!}(x-c)^2+\cdots}
\end{equation}

\begin{align}
&~~~\frac{f(x)}{g(x)} \\
\\
&=\frac{f(c)+\frac{f^{\prime}(c)}{1!}(x-c)+\frac{f^{\prime \prime}(c)}{2!}(x-c)^2+\cdots}{g(c)+\frac{g^{\prime}(c)}{1!}(x-c)+\frac{g^{\prime \prime}(c)}{2!}(x-c)^2+\cdots}
\end{align}

であり、\(~\displaystyle \lim_{x \to c}f(x)=\lim_{x \to c}g(x)=0~\)より、\(~f(c)=g(c)=0~\)を代入すると、
\begin{equation}
=\frac{f^{\prime}(c)(x-c)+\frac{f^{\prime \prime}(c)}{2!}(x-c)^2+\cdots}{g^{\prime}(c)(x-c)+\frac{g^{\prime \prime}(c)}{2!}(x-c)^2+\cdots}
\end{equation}
になるため、分母と分子をそれぞれ\(~(x-c)~\)でわることで、
\begin{equation}
=\frac{f^{\prime}(c)+\frac{f^{\prime \prime}(c)}{2!}(x-c)+\cdots}{g^{\prime}(c)+\frac{g^{\prime \prime}(c)}{2!}(x-c)+\cdots}
\end{equation}
である。
 ここで、\(~x \to c~\)を考えれば、
\begin{align}
\lim_{x \to c}\frac{f(x)}{g(x)}&=\lim_{x \to c}\frac{f^{\prime}(c)+0+\cdots}{g^{\prime}(c)+0+\cdots} \\
\\
&=\lim_{x \to c}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)} \\
\end{align}
が成り立つ。
 
(ii) \(~\displaystyle \lim_{x \to c}f(x)=\lim_{x \to c}g(x)=\infty~\)で、\(~\displaystyle \lim_{x \to c}\frac{f(x)}{g(x)} \neq 0~\)のとき、
 \(~\displaystyle F(x)=\frac{1}{f(x)}~,~G(x)=\frac{1}{g(x)}~\)とおき、テイラー展開を利用すると、

\begin{align}
\frac{f(x)}{g(x)}&=\frac{G(x)}{F(x)} \\
\\
&=\frac{G(c)+\frac{G^{\prime}(c)}{1!}(x-c)+\frac{G^{\prime \prime}(c)}{2!}(x-c)^2+\cdots}{F(c)+\frac{F^{\prime}(c)}{1!}(x-c)+\frac{F^{\prime \prime}(c)}{2!}(x-c)^2+\cdots} \\
\\
&=\frac{\frac{1}{g(c)}+\frac{-g^{\prime}(c)}{\left\{ g(c) \right\}^2}(x-c)+\frac{G^{\prime \prime}(c)}{2!}(x-c)^2+\cdots}{\frac{1}{f(c)}+\frac{-f^{\prime}(c)}{\left\{ f(c) \right\}^2}(x-c)+\frac{F^{\prime \prime}(c)}{2!}(x-c)^2+\cdots} \\
\end{align}

\begin{align}
&~~~\frac{f(x)}{g(x)} \\
\\
&=\frac{G(x)}{F(x)} \\
\\
&=\frac{G(c)+\frac{G^{\prime}(c)}{1!}(x-c)+\frac{G^{\prime \prime}(c)}{2!}(x-c)^2+\cdots}{F(c)+\frac{F^{\prime}(c)}{1!}(x-c)+\frac{F^{\prime \prime}(c)}{2!}(x-c)^2+\cdots} \\
\\
&=\frac{\frac{1}{g(c)}+\frac{-g^{\prime}(c)}{\left\{ g(c) \right\}^2}(x-c)+\frac{G^{\prime \prime}(c)}{2!}(x-c)^2+\cdots}{\frac{1}{f(c)}+\frac{-f^{\prime}(c)}{\left\{ f(c) \right\}^2}(x-c)+\frac{F^{\prime \prime}(c)}{2!}(x-c)^2+\cdots} \\
\end{align}

であり、\(~\displaystyle \frac{1}{f(c)}=\lim_{x \to c}\frac{1}{f(x)}=0~\)、同様に\(~\displaystyle \frac{1}{g(c)}=0~\)であることから
\begin{equation}
=\frac{\frac{-g^{\prime}(c)}{\left\{ g(c) \right\}^2}(x-c)+\frac{G^{\prime \prime}(c)}{2!}(x-c)^2+\cdots}{\frac{-f^{\prime}(c)}{\left\{ f(c) \right\}^2}(x-c)+\frac{F^{\prime \prime}(c)}{2!}(x-c)^2+\cdots} \\
\end{equation}
になるため、分母と分子をそれぞれ\(~(x-c)~\)でわることで、
\begin{equation}
=\frac{\frac{-g^{\prime}(c)}{\left\{ g(c) \right\}^2}+\frac{G^{\prime \prime}(c)}{2!}(x-c)+\cdots}{\frac{-f^{\prime}(c)}{\left\{ f(c) \right\}^2}+\frac{F^{\prime \prime}(c)}{2!}(x-c)+\cdots} \\
\end{equation}
である。
 ここで、\(~x \to c~\)を考えれば、
\begin{align}
\lim_{x \to c}\frac{f(x)}{g(x)}&=\frac{\frac{-g^{\prime}(c)}{\left\{ g(c) \right\}^2}}{\frac{-f^{\prime}(c)}{\left\{ f(c) \right\}^2}} \\ 
\\
\lim_{x \to c}\frac{f(x)}{g(x)}&=\lim_{x \to c}\frac{g^{\prime}(x)}{f^{\prime}(x)}\cdot \left( \lim_{x \to c}\frac{f(x)}{g(x)} \right)^2 \\ 
\end{align}
で、\(~\displaystyle \lim_{x \to c}\frac{f(x)}{g(x)} \neq 0~\)であることから、
\begin{align}
1&=\lim_{x \to c}\frac{g^{\prime}(x)}{f^{\prime}(x)}\cdot \lim_{x \to c}\frac{f(x)}{g(x)} \\ 
\\
\lim_{x \to c}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}&=\lim_{x \to c}\frac{f(x)}{g(x)}
\end{align}
が成り立つ。
 
(iii) \(~\displaystyle \lim_{x \to c}f(x)=\lim_{x \to c}g(x)=\infty~\)で、\(~\displaystyle \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = 0~\)のとき、
\begin{equation}
\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}+1=\lim_{x \to c} \frac{f(x)+g(x)}{g(x)} ~~~\cdots ①
\end{equation}
とすると、\(~x \to c~\)のとき、\(~f(x)+g(x) \to \infty~\)、\(~g(x) \to \infty~\)、\(~\displaystyle \frac{f(x)+g(x)}{g(x)} \to 1~\)より、(ii)から
\begin{align}
\lim_{x \to c} \frac{f(x)+g(x)}{g(x)}&=\lim_{x \to c}\frac{f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)} \\
\\
&=\lim_{x \to c}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}+1 ~~~\cdots ②
\end{align}
となる。
 \(①\)、\(②\)より、
\begin{align}
\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}+1&=\lim_{x \to c}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}+1 \\
\\
\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}&=\lim_{x \to c}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)} \\
\end{align}
が成り立つ。
 
 (i)、(ii)、(iii)より、ロピタルの定理は示された。

 (iii)の流れは、コーシーの平均値の定理を使う証明と同じですが、(i)、(ii)はテイラー級数をうまく利用して求めることができました。


ロピタルの定理を使って、テイラー級数の証明はできないのかな?
ふくすけ汗
できるとは思うけど・・・、ロピタルの定理を一般化させないといけないかな・・・。

◇参考文献等
・入江昭仁・垣田高夫・杉山昌平・宮寺功(2006)『応用解析の基礎1 微分積分(上)』,pp.75-77,内田老鶴圃.