テイラー級数とマクローリン級数

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テイラーの定理からテイラー級数へ、そしてテイラー級数の特殊形であるマクローリン級数について紹介していきます。

Ⅰ テイラー級数

 
 今回の記事の出発点となるテイラーの定理を載せておきます。

テイラーの定理

 ある区間において、\(~f(x)~\)は\(~n~\)階まで微分可能とする。
 その区間内の定点 \(~a~\)、任意の点\(~x~\)に対し、

\begin{align}
f(x)&=f(a)+(x-a)\frac{f'(a)}{1!}+(x-a)^2\frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}+\cdots \\
&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+(x-a)^{n-1}\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}+(x-a)^n\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}
\end{align}

\begin{align}
f(x)&=f(a)+(x-a)\frac{f'(a)}{1!}+(x-a)^2\frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}\\
&~~~~~~~+\cdots+(x-a)^{n-1}\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}\\
&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+(x-a)^n\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}
\end{align}

が成り立つ。ただし、\(~\xi~\)は\(~a~\)と\(~x~\)の間にある点である。

 この複雑な式の意味を解説した記事はこちら↓


 また、テイラーの定理の証明を書いた記事はこちら↓

 上記の2つの記事でも言及した通り、テイラーの定理の証明の肝となる部分は剰余項\(~R_n~\)であり、それは次のように表されました。
\begin{equation}
R_n=\frac{f'(\xi)}{n!}(x-a)^n~~~~(x \lessgtr \xi \lessgtr a)
\end{equation}
 「テイラーの定理(イメージ編)」では、この\(~R_n~\)が\(~(n-1)~\)次近似式の誤差となっていることを解説しました。
 
 さて、そろそろこの記事の本題に入ります。
 テイラー級数は次のようなものです。

テイラー級数

 ある区間において、\(~f(x)~\)は無限回微分可能とする。
 その区間内の定点 \(~a~\)、任意の点\(~x~\)に対し、

\begin{equation}
\lim_{n \to \infty}{R_n}=\lim_{n \to \infty}{\frac{f'(\xi)}{n!}(x-a)^n}=0~~~~(x \lessgtr \xi \lessgtr a)
\end{equation}

\begin{align}
\lim_{n \to \infty}{R_n}=\lim_{n \to \infty}{\frac{f'(\xi)}{n!}(x-a)^n}&=0 \\
(x \lessgtr \xi &\lessgtr a)
\end{align}

のとき、

\begin{align}
f(x)&=f(a)+(x-a)\frac{f'(a)}{1!}+(x-a)^2\frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}+\cdots+(x-a)^n\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}+\cdots
\end{align}

\begin{align}
f(x)&=f(a)+(x-a)\frac{f'(a)}{1!}+(x-a)^2\frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}\\
&~~~+(x-a)^n\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}+\cdots
\end{align}

となり、この右辺を\(~f(x)~\)のテイラー級数という。

テイラーの定理との相違点として、以下の2点が挙げられます。

  • \(~f(x)~\)の前提が、無限回微分可能になっている。
  • 剰余項\(~R_n~\)が無い代わりに、項が無限に続いている。

 テイラー級数は、テイラーの定理における剰余項(誤差)\(~R_n~\)が\(~0~\)に近づく前提の上で、\(~f(x)~\)が無限和で表されることを主張しています。
 
 また、テイラー級数を得る式変形のことをテイラー展開といいます。


Ⅱ マクローリン級数

 次は、テイラー級数の特殊形ともいえるマクローリン(Maclaurin)級数についてです。

マクローリン級数

 ある区間において、\(~f(x)~\)は無限回微分可能とする。
 その区間内の定点 \(~0~\)、任意の点\(~x~\)に対し、

\begin{equation}
\lim_{n \to \infty}{R_n}=\lim_{n \to \infty}{\frac{f'(\xi)}{n!}x^n}=0~~~~(x \lessgtr \xi \lessgtr a)
\end{equation}


\begin{align}
\lim_{n \to \infty}{R_n}=\lim_{n \to \infty}{\frac{f'(\xi)}{n!}x^n}&=0 \\
(x \lessgtr \xi &\lessgtr a)
\end{align}

のとき、

\begin{align}
f(x)&=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\cdots
\end{align}

\begin{align}
f(x)&=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2 \\
&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\cdots
\end{align}

となり、この右辺を\(~f(x)~\)のマクローリン級数という。

 要するに、\(~a=0~\)のときのテイラー展開のことです。
 また、マクローリン級数を得る式変形のことも同様にマクローリン展開といいます。
 
 スコットランドの数学者 コリン・マクローリンが 1742年に出版した『流率論』の中で多用したことから、彼の名がついています。
 
 1715年にブルック・テイラーが発表したテイラー級数よりも、それを\(~a=0~\)としたマクローリン級数のほうが何かと有用で、現在においても物理学などの近似計算でよく使われています。


Ⅲ マクローリン展開ができる例

 任意の関数\(~f(x)~\)を多項式で表せるというのは、非常に魅力的ですが忘れてはならないのが剰余項が\(~0~\)に収束するかどうかです。
 
 ここでは、例として\(~f(x)=e^x~\)について考えてみましょう。

例1

 \(~f(x)=e^x~\)のマクローリン展開
 \(~e^x~\)は無限回微分可能であり、微分をしていくと、
\begin{align}
f^{\prime}(x)&=e^x \\
f^{\prime \prime}(x)&=e^x \\
f^{\prime \prime \prime}(x)&=e^x \\
&\vdots \\
f^{(n)}(x)&=e^x \\
\end{align}
となる。ここで、剰余項を考えると、
\begin{equation}
R_n=\frac{e^{\xi}}{n!}x^n~~~(0 \lessgtr \xi \lessgtr x)
\end{equation}
であり、\(~\xi=\theta x~~(0 < \theta < 1~\)とおくと、 \begin{equation} R_n=\frac{e^{\theta x}}{n!}x^n < \frac{e^{x}}{n!}x^n \end{equation} なので、絶対値を考えると、 \begin{equation} 0 < |R_n|< \frac{e^{|x|}}{n!}|x|^n ~~~\cdots ① \end{equation} である。
 
 \(~x~\)を\(~-\infty < x < \infty~\)で固定して考えれば、\(~e^{|x|}~\)は定数であるため、「難しい極限③」より
\begin{align}
\lim_{n \to \infty}{\frac{e^{|x|}}{n!}|x|^n}&=e^{|x|}\lim_{n \to \infty}{\frac{|x|^n}{n!}} \\
&=e^{|x|} \cdot 0 \\
&=0
\end{align}
となる。
 
 \(①\)より、はさみうちの原理から、
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty}{|R_n|}=0
\end{equation}
であるからして、\(~-\infty < x < \infty~\)において、\(~f(x)~\)をマクローリン展開可能である。
 
 次に、\(~f(0)~,~f^{\prime}(0)~,~\cdots~,~f^{(n)}(0)~\)の値を考えていくと、
\begin{align}
f(0)&=e^0=1 \\
f^{\prime}(0)&=e^0=1 \\
f^{\prime \prime}(0)&=e^0=1 \\
f^{\prime \prime \prime}(0)&=e^0=1 \\
&\vdots \\
f^{(n)}(0)&=e^0=1 \\
\end{align}
なので、\(~f(x)=e^x~\)のマクローリン展開は、
\begin{equation}
e^x=1+\frac{1}{1!}x+\frac{1}{2!}x^2+\cdots+\frac{1}{n!}x^n+\cdots
\end{equation}
である。

ということで、\(~-\infty < x < \infty~\)という条件付きで、\(~e^x~\)をマクローリン展開することができました。
 
 ちなみに、\(~n=3~\)の項までの式をグラフにして、\(~y=e^x~\)のグラフと比較すると、
e^xの近似グラフ
となり、項が増えれば増えるほど精度が高まっていることがわかります。
 
また、\(~e=e^1~\)の近似値を考えてみると、
\begin{equation}
e^1=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\cdots
\end{equation}
となるため、\(~n=6~\)の項まで計算すると、
\begin{align}
\frac{1}{1!}&=1 \\
\frac{1}{2!}&=0.5 \\
\frac{1}{3!}&=0.1666666 \cdots \\
\frac{1}{4!}&=0.0416666 \cdots \\
\frac{1}{5!}&=0.0083333 \cdots \\
\frac{1}{6!}&=0.0013888 \cdots \\
\end{align}
より、
\begin{align}
e^1 &\fallingdotseq 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!} \\
&=2.7180553 \cdots
\end{align}
と算出されます。実際の値\(~e=2.7182824 \cdots~\)と小数第3位まで一致していることがわかりますね。


Ⅳ マクローリン展開できない例

 \(~e^x~\)は無限大以外の\(~x~\)において、マクローリン展開できましたが、\(~x~\)の範囲がしっかりと決まっている関数もあります。(むしろそのような関数のほうが多い)
 
 ここでは、次のような分数関数について、剰余項の収束を考えずにマクローリン展開してみましょう。

例2

 \(~f(x)=\displaystyle \frac{1}{1-x}~\)のマクローリン展開
 \(~\displaystyle \frac{1}{1-x}~\)は無限回微分可能であり、微分をしていくと、
\begin{align}
f^{\prime}(x)&=-1\cdot (1-x)^{-2}\cdot (1-x)’ \\
&=\frac{1!}{(1-x)^2} \\
\\
f^{\prime \prime}(x)&=1 \cdot (-2) \cdot (1-x)^{-3}\cdot (1-x)’ \\
&=\frac{2!}{(1-x)^3} \\
\\
f^{\prime \prime \prime}(x)&=2! \cdot (-3) \cdot (1-x)^{-4}\cdot (1-x)’ \\
&=\frac{3!}{(1-x)^4} \\
&~~~~~~~~~~~\vdots \\
f^{(n)}(x)&=\frac{n!}{(1-x)^{n+1}} \\
\end{align}
となる。
 
 次に、\(~f(0)~,~f^{\prime}(0)~,~\cdots~,~f^{(n)}(0)~\)の値を考えていくと、
\begin{align}
f(0)&=\frac{1}{1-0}=1 \\
\\
f^{\prime}(0)&=\frac{1}{(1-0)^2}=1! \\
\\
f^{\prime \prime}(0)&=\frac{2!}{(1-0)^3}=2! \\
\\
f^{\prime \prime \prime}(0)&=\frac{3!}{(1-0)^4}=3! \\
&~~~~~~~~~~~\vdots \\
f^{(n)}(x)&=\frac{n!}{(1-0)^{n+1}}=n! \\
\end{align}
なので、\(~f(x)=\displaystyle \frac{1}{1-x}~\)のマクローリン展開は、

\begin{align}
\frac{1}{1-x}&=1+\frac{1!}{1!}x+\frac{2!}{2!}x^2+\frac{3!}{3!}x^3+\cdots+\frac{n!}{n!}x^n+\cdots \\
\\
&=1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+\cdots
\end{align}

\begin{align}
&~~~\frac{1}{1-x} \\
\\
&=1+\frac{1!}{1!}x+\frac{2!}{2!}x^2+\frac{3!}{3!}x^3+\cdots+\frac{n!}{n!}x^n+\cdots \\
\\
&=1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+\cdots
\end{align}

である???

 今回は剰余項の収束を無視して、マクローリン展開してしまいました。
 
 この等式が、\(~x~\)の値によっては成り立っていないことに気付けるでしょうか?
 
 例えば、\(~x=2~\)のとき、
\begin{align}
(左辺)&=\frac{1}{1-2}=-1 \\
\\
(右辺)&=1+2+2^2+2^3+\cdots > 0
\end{align}
で一致することはあり得ません。
 
 また、\(~x=1~\)のときは、
\begin{align}
(左辺)&=\frac{1}{1-1}~で計算不可 \\
\\
(右辺)&=1+1+1^2+1^3+\cdots > 0
\end{align}
で左辺は分母に\(~0~\)がきてしまいます。
 
 実は、マクローリン展開(テイラー展開)では、関数によって\(~x~\)の定義域が決まっているのです。
 
 先ほどの、\(~f(x)=\displaystyle \frac{1}{1-x}~\)の\(~x~\)の定義域を考えてみましょう。
\begin{equation}
\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots +x^n+\cdots
\end{equation}
の右辺は、初項\(~1~\)、公比\(~x~\)の無限等比級数です。
 ということは、数学Ⅲで学んだ通り、\(~-1 < x < 1~\)なら、\(~\displaystyle \frac{1}{1-x}~\)に収束します
 
 よって、\(~-1 < x < 1~\)において、マクローリン展開できるということになります。
 上のグラフからもわかる通り、\(~n~\)が奇数までなら、\(~(-1,0)~\)を通り、\(~n~\)が偶数までなら、\(~(-1,1)~\)を通ります。\(~-1 < x < 1~\)の中でないと近似できないのです。
 
 定義域の範囲の広さを収束半径例2なら、\(~1~\))といい、普通は「ダランベールの収束判定法」や「コーシーの冪根判定法」などを使って求めます。(剰余項や数列から考えれるのでは稀なので・・・)
 
 何でもかんでもマクローリン展開できるわけではないということに注意しておきましょう。


ねこさま汗
 収束半径をいちいち考えるのはめんでぃ~(面倒)だな~。
ふくすけ笑顔
でも、それだけの確認しちゃえば、マクローリン展開は非常に便利だよ!