テイラーの定理(証明編)

大学・一般数学微分・積分大学・一般数学

解析学で非常に重要なテイラー展開。その背後にあり、平均値の定理を一般化したのが「テイラーの定理」です。
 本記事では、その証明を行います。

Ⅰ テイラーの定理と剰余項

 まずは、定理の中身を見てみましょう。

テイラーの定理

 ある区間において、\(~f(x)~\)は\(~n~\)階まで微分可能とする。
 その区間内の定点 \(~a~\)、任意の点\(~x~\)に対し、

\begin{align}
f(x)&=f(a)+(x-a)\frac{f'(a)}{1!}+(x-a)^2\frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}+\cdots \\
&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+(x-a)^{n-1}\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}+(x-a)^n\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}
\end{align}

\begin{align}
f(x)&=f(a)+(x-a)\frac{f'(a)}{1!}+(x-a)^2\frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}\\
&~~~~~~~+\cdots+(x-a)^{n-1}\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}\\
&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+(x-a)^n\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}
\end{align}

が成り立つ。ただし、\(~\xi~\)は\(~a~\)と\(~x~\)の間にある点である。

 この定理の歴史や数式の意味については、次の記事をご覧ください。


 上の記事の中で、解決できていないのは、\(~f(x)~\)を\(~(n-1)~\)次までで近似したときの誤差を表す式が、
\begin{equation}
R_n=\frac{f'(\xi)}{n!}(x-a)^n
\end{equation}
となることでした。
 
 この剰余項\(~R_n~\)が求まる理由を、証明から探っていきます。


Ⅱ 証明

 証明には、コーシーの平均値の定理を使います。

証明


\begin{align}
F(x)&=f(x)-\left\{ f(a)+(x-a)\frac{f'(a)}{1!}+\cdots+(x-a)^{n-1}\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!} \right\}
\end{align}


\begin{align}
F(x)&=f(x)-\left\{ f(a)+(x-a)\frac{f'(a)}{1!} \right. \\
&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\left. +\cdots+(x-a)^{n-1}\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!} \right\}
\end{align}

とおく。
 
 \(~f(x)~\)は、\(~n~\)階微分可能なので、\(~F(x)~\)も\(~n~\)階微分可能である。
 そこで、\(~F(a)~,~F'(a)~,~F^{\prime \prime}(a)~,\cdots,~F^{(n-1)}(a)~,~F^{(n)}(a)~\)を考えていくと、まずは
\begin{equation}
F(a)=f(a)-f(a)=0
\end{equation}
となり、次に1階微分を考えると、

\begin{align}
F'(x)&=f'(x)-\left\{ 0+\frac{f'(a)}{1!}+2(x-a)\frac{f^{\prime \prime}(a)}{2!}+\cdots+(n-1)(x-a)^{n-2}\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!} \right\} \\
&=f'(x)-\frac{f'(a)}{1!}-(x-a)\frac{f^{\prime \prime}(a)}{1!}-\cdots-(x-a)^{n-2}\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-2)!} \\
\end{align}


\begin{align}
F'(x)&=f'(x)-\left\{ 0+\frac{f'(a)}{1!}+2(x-a)\frac{f^{\prime \prime}(a)}{2!} \right. \\
&~~~~\left. +\cdots+(n-1)(x-a)^{n-2}\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!} \right\} \\
&=f'(x)-\frac{f'(a)}{1!}-(x-a)\frac{f^{\prime \prime}(a)}{1!} \\
&~~~~~~~~~~~~~~~~~-\cdots-(x-a)^{n-2}\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-2)!} \\
\end{align}

より、
\begin{equation}
F'(a)=f'(a)-f'(a)=0
\end{equation}
2階微分を考えると、

\begin{align}
F^{\prime \prime}(x)&=f^{\prime \prime}(x)-0-\frac{f^{\prime \prime}(a)}{1!}-2(x-a)\frac{f^{\prime \prime \prime}(a)}{2!}-\cdots-(n-2)(x-a)^{n-3}\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-2)!} \\
\\
&=f^{\prime \prime}(x)-\frac{f^{\prime \prime}(a)}{1!}-(x-a)\frac{f^{\prime \prime \prime}(a)}{1!}-\cdots-(x-a)^{n-3}\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-3)!} \\
\end{align}


\begin{align}
F^{\prime \prime}(x)&=f^{\prime \prime}(x)-0-\frac{f^{\prime \prime}(a)}{1!}-2(x-a)\frac{f^{\prime \prime \prime}(a)}{2!}\\
&~~~~~~-\cdots-(n-2)(x-a)^{n-3}\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-2)!} \\
\\
&=f^{\prime \prime}(x)-\frac{f^{\prime \prime}(a)}{1!}-(x-a)\frac{f^{\prime \prime \prime}(a)}{1!} \\
&~~~~~~~~~~~~~~~~~~-\cdots-(x-a)^{n-3}\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-3)!} \\
\end{align}

より、
\begin{equation}
F^{\prime \prime}(a)=f^{\prime \prime}(a)-f^{\prime \prime}(a)=0
\end{equation}
これを繰り返していくと、\(~(n-1)~\)階微分で、
\begin{align}
F^{(n-1)}(x)&=f^{(n-1)}(x)-\frac{f^{(n-1)}(a)}{1!}
\end{align}
より、
\begin{equation}
F^{(n-1)}(a)=f^{(n-1)}(a)-f^{(n-1)}(a)=0
\end{equation}
最後の\(~n~\)階微分は、
\begin{align}
F^{(n)}(x)&=f^{(n)}(x)-0=f^{(n)}(x)~~\cdots ①
\end{align}
より、
\begin{equation}
F^{(n)}(a)=f^{(n)}(a)-0=f^{(n)}(a)
\end{equation}
となる。
 
 ここで、\(G(x)=(x-a)^n~\)とおき、\(~F(x)~\)と\(~G(x)~\)で「コーシーの平均値の定理」を使うと、
\begin{equation}
\frac{F(x)-F(a)}{G(x)-G(a)}=\frac{F'(x_1)}{G'(x_1)}
\end{equation}
が成り立つ。(\(~x_1~\)は\(~x~\)と\(~a~\)の間)
 さらに、\(~F(a)=0~,~G(a)=(a-a)^n=0~\)より、上式は
\begin{equation}
\frac{F(x)}{G(x)}=\frac{F'(x_1)}{G'(x_1)}~~~\cdots ②
\end{equation}
となる。
 
 次に、\(~F'(x)~\)と\(~G'(x)~\)でコーシーの平均値の定理を使うと、
\begin{equation}
\frac{F'(x_1)-F'(a)}{G'(x_1)-G'(a)}=\frac{F^{\prime \prime}(x_2)}{G{\prime \prime}(x_2)}
\end{equation}
が成り立つ。(\(~x_2~\)は\(~x_1~\)と\(~a~\)の間なので、\(~x \lessgtr x_1 \lessgtr x_2 \lessgtr a~\))
 さらに、\(~F'(a)=0~,~G'(a)=n(a-a)^{n-1}=0~\)より、上式は
\begin{equation}
\frac{F'(x_1)}{G'(x_1)}=\frac{F^{\prime \prime}(x_2)}{G^{\prime \prime}(x_2)}~~~\cdots ③
\end{equation}
となる。
 
 \(~②~,~③~\)をまとめると、
\begin{equation}
\frac{F(x)}{G(x)}=\frac{F^{\prime \prime}(x_2)}{G^{\prime \prime}(x_2)}
\end{equation}
となる。(\(~x_2~\)は\(~x~\)と\(~a~\)の間)
 
 これを\(~F^{(n-1)}(x)~\)と\(~G^{(n-1)}(x)~\)まで続けていくと、\(~F^{(n-1)}(a)=0~\),\(~G^{(n-1)}(a)=n(n-1)\cdots 3\cdot 2(a-a)=0~\)より、
\begin{equation}
\frac{F^{(n-1)}(x_{n-1})}{G^{(n-1)}(x_{n-1})}=\frac{F^{(n)}(x_n)}{G^{(n)}(x_n)}
\end{equation}
となるので、まとめると、
\begin{equation}
\frac{F(x)}{G(x)}=\frac{F^{(n)}(x_n)}{G^{(n)}(x_n)}~~~\cdots ④
\end{equation}
であり、\(~x \lessgtr x_1 \lessgtr x_2 \lessgtr \cdots \lessgtr x_{n-1} \lessgtr x_n \lessgtr a~\)より、\(~x_n~\)は\(~x~\)と\(~a~\)の間にある値であることがわかる。
 
 右辺の分子を計算すると、\(①\)より、
\begin{equation}
F^{(n)}(x_n)=f^{(n)}(x_n)
\end{equation}
であり、分母は\(~G(x)=(x-a)^n~\)の\(~n~\)階微分を求めることで、
\begin{align}
G^{(n)}(x_n)&=n(n-1)(n-2)\cdots 2 \cdot 1 \\
&=n!
\end{align}
とわかる。
 
 \(~G(x)=(x-a)^n~\)とこれらを\(④\)に代入することで、
\begin{align}
\frac{F(x)}{(x-a)^n}&=\frac{f^{(n)}(x_n)}{n!} \\
\\
F(x)&=(x-a)^n \frac{f^{(n)}(x_n)}{n!}
\end{align}
となり、\(~x_n=\xi~\)(\(~\xi~\)は\(~x~\)と\(~a~\)の間)とすれば、
\begin{equation}
F(x)=(x-a)^n \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}
\end{equation}
と求まる。
 
 これを一番最初の式に代入することで、

\begin{align}
(x-a)^n \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}&=f(x)-\left\{ f(a)+(x-a)\frac{f'(a)}{1!}+\cdots+(x-a)^{n-1}\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!} \right\} \\
\\
f(x)&=f(a)+(x-a)\frac{f'(a)}{1!}+\cdots+(x-a)^{n-1}\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}+(x-a)^n \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}
\end{align}


\begin{align}
(x-a)^n \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}&=f(x)-\left\{ f(a) \right. \\
&~~~~~\left.+(x-a)\frac{f'(a)}{1!}+\cdots \right. \\
&~~~~~~~\left.+(x-a)^{n-1}\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!} \right\} \\
\\
\end{align}
\begin{align}
f(x)&=f(a)+(x-a)\frac{f'(a)}{1!}\\
&~~~~~~~~~~~+\cdots+(x-a)^{n-1}\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!} \\
&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+(x-a)^n \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}
\end{align}

が求まった。\(~~\blacksquare~\)

コーシーの平均値の定理」を繰り返し使うことで、剰余項\(~R_n=\displaystyle (x-a)^n\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}~\)が求まりました!


ねこさま驚き
コーシーの平均値の定理が活躍するとは・・・。
ふくすけ笑顔
実はそのために「ロルの定理」から記事を作ってきました。

◇参考文献等
・高木貞治(2010)『定本 解析概論』,pp.66-67,岩波書店.
・入江昭仁・垣田高夫・杉山昌平・宮寺功(2006)『応用解析の基礎1 微分積分(上)』,pp.75-77,内田老鶴圃.