テンパズル（４つの数字で１０を作るパズル）

2020年11月23日プチ研究数論プチ研究

是非下記からダウンロードして、眺めてみてください。↓↓

テンパズル　完成版

ここからはどのようなプログラムを使って、この解答集を作ったのかを紹介します。
手順としては次の通り。
①４つの数字を全パターン用意する。
②式の形を一般化して作る。
③重複している式を削る。
④①で作ったパターンを③の式にあてはめ、１０になる式を探す。
⑤同じ式を削除する。
⑥÷０を削除する。
⑦痛恨の手作業。
完成！！

簡単に書くと、こんな感じですが試行錯誤を繰り返して１か月以上考えましたね・・・。
論理的に薄かったり、無駄も多かったり・・・。能書きはこの辺にしておきましょう。
では、詳しく説明していきます。長いので、流し読みしてください。

①４つの数字を全パターン用意する。

まずは、テンパズルの問題となる４つの数字のパターンを全て作ります。
（１）まずはエクセル上のA列に、４桁の数字を１０００～９９９９まで用意します。
これはエクセルの数値コピーを使えば一瞬ですね。

（２）MID関数を使って、CF列に４桁の数字を４つの数字に分解します。
MID関数とは、文字列の指定した位置から指定された文字数を表す関数です。

（３）C～F列を数値コピーして、HK列に貼り付けます。
これは、（４）のLARGE関数でエラーを防ぐためです。
このとき、文字列として、貼り付けられるため、警告マークから全て数値に
変換する必要があります。（ドラッグしてやれば、一発）

（４）LARGE関数を使って、MP列に４つの数字を大きい順に並び替えます。
　　LARGE関数とは、データの中から指定した番目に大きい数値を表す関数です。

（１）～（４）までのエクセルの状況

（５）並び替え機能を使って、各行をMP列の大きさにより並び替えます。
すると、例えば１００１から出てきた１１００と、１１００から出てきた１１００、１０１１から
出てきた１１００、３つが重複してしまいます。

（６）Excel VBAを使って、４つの数字が重複している行を削除します。
これらを削除するために、次のようなマクロを組みます。
このマクロを何回か繰り返すことで、重複をなくすことができます。
（７）最後にL列に整理番号を付けて、４つの数字全パターンが重複なしでできあがります。
最初は１０００～９９９９の９０００の数字だったのが、重複をなくすと、
７１４通りになってしまいました。
一応、これに００００を付け加えて全７１５通りの数のパターンの完成です。

②式の形を一般化して作る。

問題となる４つの数字は作り終えたので、今度は解答を出すための式作りに入ります。
（１）理論から考える。
４つの数字を\( a , b , c ,d \)とする。
四則の演算子（\( + , – , \times , \div ~\)）の入れ方は、
\(~a\)と\(b\)の間で４通り、\(b\)と\(c\)の間で４通り、\(c\)と\(d\)の間で４通り、つまり\( 4^3=64 \)通り。

さらに、計算の順序を考える。左から順々に計算していくのを次のように表す。
a 1 b 2 c 3 d　→　例：\( a + b + c + d \)
すると、今のも含めて全部で５通りの計算方法が得られる。
a 2 b 1 c 3 d →　例：\( (a+(b+c))+d \)
a 3 b 1 c 2 d →　例：\( a+((b+c)+d) \)
a 3 b 2 c 1 d →　例：\( a+(b+(c+d)) \)
a 1 b 3 c 2 d (a 2 b 3 c 1 d も同様) → 例：\( (a+b)+(c+d) \)

さらにさらに、４つの数字を並び替えることも考える必要があるため、４つの数字\( (a,b,c,d) \)の並べ方は
\(~ 4!=4\times3\times2\times1=24\)通り

以上より、１組の数字につき、\(64\times5\times24= \)7680通りの計算方法が考えられる。

（２）エクセル上に７６８０通りの計算方法を数字の代わりに\( a , b , c , d \)を使って作っていく。
まず、A列に０～7679までの通し番号、B列にN(0)～N(7679)までの配列を連続データの作成により、作る。
そして、C列、E列、I列、M列、Q列にそれぞれ\( = , a , b , c , d \)を入力する。

（３）最初に演算子を全て＋で固定、さらに文字の順番も\( a,b,c,d \)で固定をして、カッコの位置を考える。
すると、カッコの位置は全文で５通りだったので、通し番号０～４は次のように式が書ける。

（４）この５行をまとめて選択して、通し番号３１９までコピーをします。
そして、５行を１ブロックにして、演算子を変えていきます。（ここは地道に手作業・・）

（５）さらに、（４）で作った３２０行をまとめて選択して、通し番号７６７９までコピーをします。
そして、３２０行を１ブロックにして、Excelの置換機能で、文字の順番を入れ替えます。
（ここも地道に置換の設定をします。）
一応これで、全７６８０通りの計算式ができあがりました。

③重複している式を削る

あとは、①で作った全パターンを②で作った式に代入するだけなのですが、さすがに重すぎて（715題×7680通り＝5491200回の計算）コンピュータが処理してくれません。そこで、\(a+b+c+d\)と\((a+b)+(c+d)\)のような、式的に等価なものを削って１つにまとめてしまいます。
（１）まず、②で作った式は、このままでは使い物にならないため、VBAのコピーします。
②でできるだけ簡単に式を作るために、セルを細かく分割してしまったので、単純にコピーはできません。
そこで、通し番号０～７６７９のBS列まで全てコピーをして、Wordに「テキストのみ保持」で貼り付けます。（それぞれの式を１行で表したいので、ページレイアウトでA3横に設定しておきましょう。）
そして、今ワードに貼り付けた式をまたコピーをし、Excel VBA内に貼り付けます。
すると、きれいにセルの境目が削除され、計算式としてふさわしい記述ができました。
（２）今貼り付けた式を９６０個ずつに改行を使ってスペース的に分けます。（全部で８つに分かれる）
これは、１つのマクロ内で７６８０の式計算をこなそうとすると、オーバーフローして、処理が中断してしまうからです。（もしかしたら、最新のPCならできるのかもしれませんが・・・）

（３）８つに分けたそれぞれの前後に次のように記述する。

＜以下VBAでの記述>

Sub テンパズル解答1()　　　　　　　’最初のブロックなので、「１」
Dim a, b, c, d, e As Integer　　　　’変数a,b,c,d,eは整数型であるという宣言
a = Range(“C2").Value 'C2のセルの値をaに代入する。
b = Range(“C3").Value 'C3のセルの値をbに代入する。
c = Range(“C4").Value 'C4のセルの値をcに代入する。
d = Range(“C5").Value 'C5のセルの値をd代入する。
On Error Resume Next '÷０がでてきたら無視をする
Dim N(7679) As Single　　　　　　 'N(0)からN(7680)までの配列を宣言
————————————————-
N(0) = a + b + c + d '上の記述により、adが式に代入されて計算される。
N(1) = (a + (b + c)) + d
N(2) = a + ((b + c) + d)
N(3) = a + (b + (c + d))
N(4) = (a + b) + (c + d)
・・・・・・
N(959)= (a / c) / (b / d)
————————————————-
e = Range(“A1").Value 'A1のセルの値をeに代入する。
Dim x As Integer　　　　　　　　　　　　　　 '変数xは整数型であるという宣言
For x = ０ To ９５９　　　　　　　　　　　　　’次の処理を９６０回繰り返しなさい。(x=０のとき↓)
Cells(9+x , e).Value = N(x) '9行目e列に入る値はN(０）の値
Next x
End Sub

Sub テンパズル解答2()　　　　　　　　　　　　’以下同様に
Dim a, b, c, d As Integer
a = Range(“C2").Value
b = Range(“C3").Value
c = Range(“C4").Value
d = Range(“C5").Value

Dim N(7679) As Single
On Error Resume Next

＜以上VBAでの記述>

（４）さらに、次のようなマクロも記述する。
＜以下VBAでの記述>

Sub テンパズル解答()
テンパズル解答1 '（３）で分割した１～８ブロックのプログラムを
テンパズル解答2　　　　　　　　　連続して行う。
テンパズル解答3
テンパズル解答4
テンパズル解答5
テンパズル解答6
テンパズル解答7
テンパズル解答8
End Sub

＜以上VBAでの記述>

（５）下のようなA列、B列を記述したエクセルシートに、C2=１、C3＝２、C4＝３、C5＝４をセルに入力して、
マクロ「テンパズル解答」を実行すると、次のような計算結果が表れる。

例えば、C9からC１３の１０は、a=1 , b=2 , c=3 , d=4 を代入したときの、
N(0) = a + b + c + d
N(1) = (a + (b + c)) + d
N(2) = a + ((b + c) + d)
N(3) = a + (b + (c + d))
N(4) = (a + b) + (c + d)
の結果が表れている。

（６）ここで、重複している式を減らすための工夫を考える。
上に挙げたN(0)～N(4)の式のように明らかに等価なものから、
N(20) = a + b – c + d
N(29) = (a + b) – (c – d)
のように式変形をすると、等価になるものもある。
そこで、コンピュータに理論的に等価な式を見つけさせるのは難しいため、
いくつかの４つの数字の組を考え、答えが全て等しくなる式を重複しているものとみなし、
削除するという方法をとる。（１００％排除できるわけではないが、ある程度は絞れる）
そこで、このシートのA1列の値を１増やして、さらにC2～C5の数字も違う数字にして、
マクロ「テンパズル解答」を実行した。
いくつかの４つの数字の組として用いたのは、全て同じ数や偶数だけ、奇数だけ、０が含まれる、無作為に抽出した数字など、次のような組である。↓
(1,2,3,4)、(4,4,4,4),(7,7,7,7),(2,4,6,8),(1,3,5,9),(3,3,4,7),(2,5,6,9),(6,6,7,9),(7,7,7,4),(4,4,4,5),(0,2,5,9),(1,4,6,8),(0,1,2,7)
その結果、次のようになった。
（７）これらの中から計算結果が全て等しいものを探るため、各式の１３個の計算結果の合計（sum関数）、最大値（max関数）、最小値（min関数）、中央値（median関数)、さらにそれら４つの値の合計をとり、確実に同じ式かどうかを見やすくした。
（８）U列の値をもとに各行を並び替えて、合計、最大値、最小値、中央値が等しい式を削除した。
（ここでは、重複した式のある行を削除するマクロは①（６）と同じような仕組みです。)

（９）これで重複している式をある程度削除できたため、もとの式番号通りに並び替えて、新たな番号をつけ、計算結果等の不要な列を削除することで、新たな式リストができた。
なんと、これで７６８０もあった式が、N(1102)までの１１０３個の式まで減らすことができた。
これならば、単純計算７倍のスピードで計算ができるだろう。

④①で作ったパターンを③の式にあてはめ、１０になる式を探す。

③で作られた１１０３個の式に、①で作った７１５組の４つの数字を代入し、それぞれ１０となる式を探します。
（１）A4,A104、A２０４と１００間隔で１～７１５の番号を入力します。
さらに、B4～E４のセルにはvlookup関数を使って、
VLOOKUP($A4,問題!$L$4:$P$718,2)　　　（最後の２をセルによって変更する。）
と入力します。これにより、問題シートから、問題番号が１番なら、１番の問題（０、０、０、０）をB4～E4に４つの数字を並べることができます。
これまた、問題番号７１５（A７１４０４）の行まで作ります。

（２）次のようなマクロ「解答つくり」を記述します。
＜以下VBAでの記述＞

Sub 解答つくり()
Dim 問題番号 As Long
For 問題番号 = 1 To 715
　Dim a, b, c, d, e As Long
　a = Cells(問題番号 * 100 – 96, 2).Value
　b = Cells(問題番号 * 100 – 96, 3).Value
　c = Cells(問題番号 * 100 – 96, 4).Value
　d = Cells(問題番号 * 100 – 96, 5).Value

　Cells(問題番号 * 100 – 96, 6).Select
　On Error Resume Next
　Dim N(1102) As Single

　N(0) = a + b + c + d
　N(1) = a + b + c – d
　N(2) = a + b + c * d
　N(3) = (a + b + c) * d
　N(4) = a + ((b + c) * d)
　N(5) = a + b + c / d
　・・・・・・・・
　N(1101) = d / ((c / a) – b)
　N(1102) = (d / c) / (a – b)

　For e = 0 To 1102
　　If N(e) = 10 Then
　　　　ActiveCell.Value = e
　　　　ActiveCell.Offset(1, 0).Select
　　End If
　Next e
Next 問題番号
End Sub
＜以上　VBAでの記述＞
これにより、F列に計算結果が１０となる式のナンバーが全て挙がります。
そして、空白の行を削除し、式ナンバーがある行にも問題番号と問題を入力しておくと、次のようになります。
（３）F列の式ナンバーによる式がどのような式であったかを可視化したいので、G～V列に式ナンバーに対応する式を出力します。③（９）で作ったシートをvlookup関数で参照しています。一応、使った関数はコレ↓
IF($F4="","",VLOOKUP($F4,式参照!$C$8:$U$1110,4))
（式ナンバーが空欄なら、空欄のままにしなさい。そうでなければ、式ナンバーに対して対応する式を「式参照」のシートから読み込みなさい。）
（４）さすがに文字式のままだと見づらいので、XAM列に文字式を対応する数字に置き換えた式を作ります。
Y列、AC列、AG列、AK列は、次のように記述し、文字を数字にします。（例Y１７）
=IF(F17="","",IF(H17="a",$B17,IF(H17="b",$C17,IF(H17="c",$D17,$E17))))
（式ナンバーが空欄であれば、空欄にしなさい。そうでなければ、H列がaのときはB列のaの値を、H列がbのときはC列のbの値を、H列がcのときはD列のcの値を、H列がdのときはE列のdの値を代入する）
それ以外のところはカッコや演算子をそのまま写せばよいので、（例X１７）
=G17
で結構です。すると、次のようになります。
これで一応、各４つの数字の組で１０になる式が出てきました。全部で約６０００もの式が並びました。

⑤同じ式を削除する。

一応、④で答えは出そろいました。が、ちょっと無駄が多い気がします。下をご覧ください。（Excel2016になりました！）

なんと、同じ式が４つもあります！！
G～V列の式を見てみましょう。すると、上の４つの式の正体は以下のようになっています。
・式ナンバー４：a + ( ( b + c ) * d )
・式ナンバー１５１：a + ( ( b + d ) * c )
・式ナンバー４３４：b + ( ( a + c ) * d )
・式ナンバー７３３：c + ( ( a + b ) * d )
これらの式は明らかに等価ではありませんが、(a,b,c,d)=(2,2,2,2)のときは同じ意味になってしまうため、こんなにも無駄が出てしまうのです・・・。
ということで、⑤では、この現象を解消します。

（１）並び替えをして、同じような式が並ぶようにします。そのため、XAM列は関数での記述になっているので、全て値としてコピーをします。（AO列～BD列にコピーしました。）
そこで、「並び替え」機能を使用して、以下のように並び替えてもらいます。（A列の番号はそのままで、４つの数字の順番が同じものをくっつけるという戦法です）

これでOKを押すと、こうなります↓
あ、式ナンバー５２１も同じような式でしたね（汗）
とりあえず、これで並べ替えが完了しました。

（２）次にまたまたif関数を使って、同じ式を抽出します。
以下の用にBF列に関数を入力します。なが～く書いていますが、要は「式ナンバー欄が空欄でない式のうち、上の式と比較して、同じなら"0″を、一部分でも違っていれば"1″を記入する」という指示です。

あとは、①（６）で使った「重複式削除」のマクロを応用して、０となった行を削除します。

これで、全く同じ式は削除されました。

⑥÷０の削除

一見、完成したかのように思われましたが、おかしい行を発見！

４・０・０・０で１０をつくる・・・。できませんよね。
それなのに、１０ができている！！（１０ができる場合、式ナンバーがF列にある）
式を見てみると、
式ナンバー８７：4*0+0/0（つまり、\( 4\times0+0\div0~\))
０でわるという数学上の禁じ手を行っています。ここにきて、今までのマクロで書いてきた
On Error Resume Next '÷０がでてきたら無視をする
の影響に気づきました。
そこで、まずは÷０を見つけてその式を削除するということをしていきます。

（１）⑤と違って、今度は一行一行見ていきます。
BH列、BJ列、BL列を使って、AT列、AX列、BB列の数字が０の場合、÷０をしていないかを確認する関数をif関数で作ります。
ここで注意しなければならないのは、/(0+3)のようなパターンです。この場合であれば、式として問題でありません。よって、次のような関数をBH列に入力します。BH列では、４つの数字のうち、２番目の数字において、÷０をしていたら”０”を入力するようにしています。。（BJ列、BL列も同様に、３番目、４番目の数字を判定）

（２）３つ並んだので、それらの数字を合計するSUM関数をBN列に作り、BP列には、IF関数で、BN列の値が３なら"1″、３以外なら"0″を入力するような関数とします。すると、上のような結果となります。
つまり、一つでも÷０があると、BN列は０になってしまいます。

（３）ここまで来れば、①（６）や⑤（２）で使用した「重複式削除」のマクロを応用して、０となった行を削除します。これで、÷０がなくなりました！！

⑦痛恨の手作業

ここまでエクセル関数とVBAに頼って、機械的にテンパズル解答集を作ってきました。最後の確認をしていたところ、思わぬところに伏兵がいました。それは次の行↓

\( 5+(0\div(6-6)) \)
\(~ (5+0)\div(6-6) \)
\(~ (5\div(6-6))+0 \)

・・・・そのパターンがあったか！！　というこれまでの検査をかいくぐってきたエラー式の称賛と驚きの意を表すると共に、どうすればよいのか・・・と思い悩みました。

（１）そこで、とった方法は・・・手作業。
÷（○-△）の形で÷が入りうる列はAQ列とAV列（BA列にあったとしても、÷０はすでに⑥で削除しているため）。
そのため、その２列の"/"記号を"/“に置換して、見やすくすると、なんと該当した"/“記号は約１５００個！
これならいける！！ということで、赤く染まった"/“の式を見ていきました。

そして、手作業による検閲をくぐり抜けた式たちがこちら↓

このファイルが テンパズル　完成版 からダウンロードできます！！どうぞご自由にお使いください。

⑧反省点

なんとなく気に入らないことが２点あります。
・⑦でやったことをプログラム化できなかったこと。複雑すぎて、能力が足りませんでした。
・「\(2\times 5+0+0 ~\)と\( 2\times 5-0-0 \)など式の本質は同じものを削除できなかったこと。

以上の点を解決できればもっと正確なものを、無駄なく作れると思います。
今後の課題ということにしておきましょう。

Fukuのコメント
中学の頃、数学の授業でテンパズルを毎時間やっていて、その魅力にはまりました。車のナンバーを見るたびにテンパズルをやっていたものです。何十、何百の問題を解いていくうち、中学生にして一つの予想が生まれました。
「テンパズルにおいて、４つの数字をたして７より小さい問題は１０をつくることができない。」
この予想の証明。文字式など、いろいろ考えたもののできませんでしたが、大人になって、プログラミングを学び、この度証明することができました。
コンピュータを使って、数学の問題を解決するなんて、四色問題と一緒ですね。長い時間抱えてきた疑問が今、証明されました。■